La formulación de un problema es más importante que su solución.
Albert Einstein
Fuente: INFINITUM. Citas Matemáticas
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Casi completamente… yo dividiría los problemas en niveles de importancia.
Cuanto menos importante es un problema, más importante es su solución:
Al hacer la compra lo importante es saber cuánto hay que pagar y cuánto nos tienen que devolver.
Al realizar un cálculo físico lo importante es el resultado aproximado con un cierto margen de error, según la teoría utilizada.
Al resolver un problema matemático ni siquiera el problema importa, lo único que cuenta es el proceso mental que nos lleve a resolverlo.
Al formular un problema nos damos cuenta que existe.
Por lo tanto, estoy de acuerdo con la sentencia de Einstein.
Totalmente de acuerdo, como casi siempre, con el tio Al. Sin embargo, creo que la relación problema-solución no es exactamente la que cita mimetist. Más bien, creo que cuanto más complejo es el problema, más sencilla es la solución, y también el planteamiento que nos lleva a ella. Sin embargo, lo más dificil es ser capaz de hacer planteamientos sencillos.
Absolutamente de acuerdo. La solución puede ser trivial o realmente muy complicada, pero es esa idea inicial la que puede incluso generar nuevos problemas.
Los felicito por el blog, es realmente muy interesante. Lo descubrí hace algunos días y esta es la primera vez que dejo un comentario. Sigan así!
Gonzalo -estudiante de Lic. en Cs. de la Computación, Argentina-
¿Y si el problema no tiene solución?
Si el problema no tiene solución es porque se ha demostrado que no la tiene y si tratas de resolverlo nunca lo lograrás.
Entonces tenemos el caso en donde la frase de Einstein se convierte en una verdad absoluta, pues aquí el problema es lo único importante, ya que la solución no existe.
Todo problema tiene una soluciòn. Cuando decimos «no tiene soluciòn» en cuanto al problema ¿no lo estamos resolviendo? Aunque no de manera satisfactoria, claro. Ahora, un problema no debe tener una ùnica soluciòn, lo que nos regresa a la frase: Es mas importante el problema, pues podremos encontrar otras soluciones, si nuestra soluciòn no era satisfactoria.
Ahora habrìa que hacernos las preguntas:
Cualquier tipo de problema?
A que nos referimos con soluciòn?
Importante en cuanto a què paràmetros?
Por cierto ¿la frase es autorreferente?
Esto es, es tambièn un problema del tio Al para nosotros? en ese caso… la soluciòn es?
Si se demuestra que un problema no tiene solución, esta demostración no es la solución del problema. Por el contrario, se confirma que la solución no existe.
disculpa el yerro. Mi problema era resolver el problema.
Las preguntas que plantea un problema suelen ser más importantes que la solución.
¿Y si no se puede demostrar ni que tenga ni que no tanga solución? ¿Donde está el problema, en el limbo?
Creo que podríamos ensayar una clasificación de los problemas en 4 estados básicos:
1) Resuelto.
2) Abierto determinado (Se sabe que tiene solución pero no se la conoce).
3) Abierto indeterminado (No se sabe si tiene solución).
4) Irresoluble.
Saludos Omar-P. Es interesante tu propuesta de ensayar una clasificación de problemas en cuatro estados básicos. ¿Sería mucho pedirte que definieras “solución de un problema” o “estado de un problema”? Gracias.
¡Saludos Jorge! Creo que la «Solución de un problema» es la respuesta que se ha encontrado a su formulación. En cuanto a la clasificación de los problemas, dependerá del conocimiento que se tenga de los mismos. El estadio de los problemas abiertos es modificable.
Aquí vemos algunos ejemplos de clasificación:
– Un problema resuelto:
¿Cuál es único número que se encuentra entre un cuadrado y un cubo?
(La respuesta seguramente la dará un joven Gaussiano).
– Un problema abierto determinado, a principios de 1903:
¿Cuáles son los factores del número 2^67-1?
– Un problema que cambia de estadio:
Desde 1876 se sabía que el número de Mersenne 2^67-1 no era un número primo, pero se desconocía cúales eran sus divisores. Cuando en 1903 Frank Nelson Cole encontró los factores de ese número, el problema pasó a ser un problema resuelto.
– Un problema abierto indeterminado:
¿Existen infinitos primos gemelos?
(No se sabe si este problema tiene una solución demostrable).
– Un problema irresoluble:
Hallar con regla y compás un cuadrado que posea un área igual a la de un círculo dado.
(Está comprobado que la cuadratura del círculo es imposible).
También podemos visualizar la clasificación y la eventual evolución de los problemas utilizando un grafo: Los vértices de un triángulo son los estadios «Abierto indeterminado», «Abierto determinado» y el estadio «Resuelto». Desde el estadio «Abierto indeterminado se traza una arista libre que se conecta con el estadio «Irresoluble». Desde es estadio «Abierto indeterminado se puede pasar a los otros estadios, pero no en forma viceversa»¨. Otro estadio que puede cambiar es el «Abierto determinado» ya que puede evolucionar a «Resuelto». Ningún otro cambio es posible.
Y si tuviésemos que designar a cada estadio del problema con una palabra, simplificando, podríamos decir: Abierto, Resoluble, Resuelto o Irresoluble.
Según Runes, problema es Cualquier situación, practica o teórica, para las que no hay respuesta adecuada automática o habitual, y que, por tanto, exige un proceso reflexivo. Entonces, problema matemático podría ser una situación teórica propuesta para la que no hay respuesta, y que, por tanto, exige un proceso reflexivo. ¡Me gusta! Ahora, si se propone o se formula un problema matemático nos damos cuenta de que existe (según Eistein en el comentario de Omar-P). Quiero hablar de los problemas matemático de la forma P->Q, y estos, por el momento sólo estos por comodidad, podrían ser analizados a la categorización que propone Omar-P. Ya suponemos que existe alguna proposición de un problema de la forma P->Q, llamémosle K-problema y a su solución o soluciones (porque puede resolverse de diferentes formas) K-soluciones, entonces, K-soluciones satisfacen a K-problema. La pregunta que hace CHITI ¿y si el problema no tiene solución?, es importante considerarla para analizar la relación entre K-problema y su K-soluciones. Según esto K-soluciones sería el estado del problema llamado Resuelto. Si esto lo consideramos como verdadero, el complemento de K-soluciones podríamos llamarlo CK-soluciones y CK-soluciones pasaría a ser juzgado para determinar a qué estado pertenece. ¿Cuál sería el estado que determine a CK-soluciones?
Una aclaración, Jorge: la frase «Al formular un problema nos damos cuenta que existe» no la dijo Albert. En cuanto a tu pregunta sobre el complemento del problema, no la entiendo. No sé si será posible plantearla de una manera más sencilla, para que yo pueda entenderla. En cuanto a la pregunta de CHITI, el problema corresponde al estadio «Irresoluble», claro está. Saludos.
Gracias por la aclaración, relacione equivocadamente los comentario del 8 de Noviembre de 2007 10:31 y 28 de Noviembre de 2007 10:49 que hiciste el este foro. Por otra parte, no me refiero al complemento de K-problema porque K-problema es una proposición de la forma P->Q dada que necesita resolverse, sino al complemento del conjunto de soluciones (si existiera a lo menos una) llamado K-soluciones.
En la primera pequeña reflexión que hago en el foro, intento decir que si tengo un problema y su solución podemos categorizarlo en el estado primero llamado Resuelto, si el problema no tiene solución (o no se le conoce) es suponible que K-problema este en otro estado (en uno de los tres que faltan). La meditación esta enfocada en determinar si los tres estados son subclases o clases independientes de estados, por ejemplo, el conjunto de soluciones del problema es independiente y no derivado (según yo) por lo que la categoría no es una subclase sino una clase.
Mencionaste que querías ensayar una clasificación de los problemas, eso intento, la categorización de un solo problema el de la forma P->Q, suponiendo inicialmente la existencia de una solución (la misma pertenece a un conjunto de soluciones). Ahora en el caso de que no existiera ¿qué pasa con el estado del problema?, etc., si trabajamos más acerca de este tema podemos llegar a propiedades interesantes de la proposición de la clasificación de los problemas por medio de estados.
Saludos Omar-P
Nota: Deseo que continué este foro Omar-P, no se canse y piense que no vale la pena seguir. Yo siempre he pensado que las cosas son interesantes no por lo sean; sino porque nosotros hacemos que sean interesantes que cobren vida .
Una vez alguien dibujó un diagrama y se lo calificaron de «inútil». Ayer ví el diagrama posicionado en el primer lugar en el Google imágenes. Estoy de acuerdo contigo, la utilidad de las cosas depende de su aplicación.
Con respecto al tema que nos interesa a continuación trataré de describir el diagrama de problemas y soluciones, con el que me manejo:
Se toma un hoja y traza un cuadrado grande, con un vértice hacia abajo. Luego se trazan 2 líneas perpendiculares que dividen el cuadrado inicial en otros 4 cuadrados. Dentro de cada uno de éstos pequeños cuadrados se traza un círculo grande, cuyo diámetro sea menor al lado del cuadrado pequeño. En el círculo superior se escribe el signo de interrogación (?). En el círculo de la izquierda se escribe el signo «menos» (-). En el de la derecha se escribe el signo «más» (+). En círculo de abajo se escribe el de admiración (!). Luego se sombrea levemente a los 3 cuadrados superiores sin afectar a los círculos. Por último se trazan 4 flechas: Las 3 primeras se trazan desde el círculo superior hacia los restantes. La última flecha se traza desde el círculo derecho hasta el inferior.
El diagrama debe interpretarse como un objeto tridimensional. La parte sombreada representa el plano de lo «irresuelto» mientras que pequeño cuadrado inferior representa el plano de lo «resuelto». Ambos planos son paralelos. El rectángulo formado por los cuadrados superior y derecho representa el estado «inicial», el problema «abierto», la calificación «movil», el «movimiento». El rectángulo formado por los cuadrados izquierdo e inferior representa el estado «final», el problema «cerrado», la calificació «fija», la «quietud». El rectángulo formado por el cuadrado superior y el izquierdo representa la solución «indetectable», lo «imperceptible» ( pues aquí sólo es comprobable la existencia del problema). El rectangulo formado por el cuadrado derecho y el inferior representa la solución «detectable», lo «perceptible» (pues aquí es comprobable la existencia de la solución).
Los niveles del diagrama representan el grado de satisfacción obtenido: En el nivel superior encontramos al problema abierto, sin saber si existe una solución. En el nivel medio, del lado izquierdo, encontramos la satisfacción de tener el problema cerrado pero también la insatisfacción de saber que el problema es «irresoluble». En el lado derecho, tenemos el problema abierto, sabiendo que existe una solución, pero la misma es desconocida. En nivel inferior encontramos el máximo grado de satisfacción al tener el problema «resuelto».
Las flechas, con sus direcciones y sentidos, indican los 4 cambios posibles de estado.
Creo, Jorge, que debemos distinguir muy bién el siguiente concepto: Cuando decimos que un problema «no tiene solución» es porque es irresoluble. Se ha demostrado que la solución no existe. Si en cambio, para otro problema, aún no se ha hallado una solución entonces podemos decir que el problema es «resoluble» pero con solución «pendiente».
Otra forma de ver la clasificación es utilizando una hoja con 4 renglones. Allí se podría enumerar a cada problema de la siguiente manera:
A=Irresuelto. A1 ó 0 = Cerrado. Irresoluble.
» » » » » A2 ó 1 = Abierto puro.
» » » » » A3 ó 2 = Abierto resoluble.
B=Resuelto…….. 3 = Cerrado. Resuelto.
Me gustaría saber si tú puedes sacar algo en limpio de este borrador. Saludos.
Agrego que: La parte sombreada del diagrama representa la oscuridad. El cuadrado restante representa la claridad, la luz.
Otra versión del modelo gráfico la obtenemos si sombreamos con un tono más oscuro el cuadrado superior. Este representa la oscuridad mayor acerca del conjunto problema-solución. La zona intermedia representa el conocimiento parcial. La zona clara, el conocimiento total del problema y de su solución.
Cualquier movimiento o variación en la categorización del problema que no sea uno de los mencionados, será causado sólo por una incorrecta clasificación anterior del problema.
Ahora, si se formula un problema sabiendo de entrada que tiene que tener una solución, pero no se conoce cual es, entonces debe ubicárselo en el casillero (+) y su única evolución posible es hacia el casillero (!).
Desde el casillero 1 (ó «?») hay 3 movimientos:
1 – 1 = 0
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
Desde el casillero 2 (ó «+») sólo hay 1 movimiento:
2 + 1 = 3
Y esto tiene una conexión con el ajedrez. El problema «abierto puro» puede hacer el movimiento que haría El Rey en el tablero de ajedrez, mientras que el problema «abierto resoluble» sólo puede efectuar el movimiento del Peón, cuando no come una pieza.
Parece ser que el problema «abierto puro» es El Rey de los problemas.
Hay un detalle a tener en cuenta con la clasificación que estáis haciendo: existen problemas para los que está demostrado que no es posible determinar si existe solución o no.
Dicho de otro modo: la potencia expresiva del lenguaje matemático es mayor que su capacidad deductiva.
Por ejemplo: se sabe que el cardinal de los números naturales es menor que el cardinal de los números reales. Ahora bien, ¿existe un cardinal intermedio entre ambos? Esta es la llamada hipótesis del continuo, debida a Cantor. Se conoce gracias a Gödel y Cohen que su veracidad o su falsedad no puede ser demostrada usando las matemáticas «normales».
Obviamente, podemos jugar con el lenguaje y decir que este problema está resuelto, pues no podemos llegar más allá en su comprensión. Pero en tal caso, también estaría resuelto el problema de la regla y compás, ¿no?
En fin, es sólo un comentario antes de dejar de currar por hoy. Felicidades por el blog, by the way…
Muy buena reflexión jenkinserrin. En la clasificación que presenté, llamé problema «resuelto» al que se le ha encontrado una solución. Ahora bién, si existe un problema que se ha demostrado que es imposible demostrar si existe o no una solución, sobre ese problema pienso lo siguiente:
Al casillero (-) no puede moverse, por definición. Supongamos ahora que se hallara una solución al problema. La existencia de esa solución implicaría que es posible demostrar que la solución existe. Pero esto último está en contra de la afirmación inicial. Entonces es imposible que tenga solución, y debería ubicarse en el casillero (-). Pero si es imposible que tenga solución, resulta que también esta frase va en contra de la afirmación inicial.
Conclusión:
1) Habría que ver si la afirmación inicial es correcta, pues al ser imposible que el problema tenga una solución, esto demuestra que el problema no tiene solución y se ubicaría en el casillero (-).
2) Si la afirmación inicial es correcta, entonces creo que el problema debería ubicarse en el casillero (?) y permanecer alli, recluído en su celda, eternamente.
What’s your opinion?
Saludos, reflexioné en el diagrama que propones Omar; es muy ilustrativo y explica bien los estados de un problema. De hecho, lo dibuje según las instrucciones, de tal forma que se aprecia de una manera intuitiva. Ahora bien, estoy de acuerdo en que se tiene que entender bien el concepto de: “el problema no tiene solución”, es irresoluble. Y para ayudar un poco se puede proponer una, sin embargo, la en la definición de problema matemático (modificación que hice de Runes) no ayuda, obsérvala:
“Problema matemático podría ser una situación teórica propuesta para la que no hay respuesta, y que, por tanto, exige un proceso reflexivo.”
Tendría más sentido si se consideran los estados implícitamente, reformulando la primera definición tenemos que un
“Problema matemático es una propuesta teórica dada que exige un proceso reflexivo para determinar si el problema: tiene solución o no”
Los estados de un P. M. están en: “es una propuesta teórica dada”, estado Propuesto (existencia) , que debería ser el primer estado de todo problema; “que exige un proceso reflexivo”, estados Abierto determinado y Abierto indeterminado; “para determinar si el problema: tiene solución o no”, estados Resuelto e Irresoluble.
Si establecemos un orden para los estados puedo enumerarlos como
1) Propuesto (Entrada).
2) Abierto determinado y Abierto indeterminado (Proceso).
4) Resuelto e Irresoluble (Producto).
de esta manera las etapas del problema son Entrada-Proceso-Producto, así el P. M. tiene solución o no la tiene (es irresoluble), es claro que pasa con los otros estados. Me parece que bajo este escenario el concepto “irresoluble” es evidente (lo era).
Espero no ser redúndate con respecto al estado Propuesto y la esencia misma del problema.
Por otra parte, jenkinserrin, estoy de cuerdo con Omar, ya que si para el problema no es posible determinar si existe o no solución, este está en el estado Propuesto, esperando a las otras nuevas y no conocidas matemáticas para transitar a los otros estados.
Me falto la palabra “solución” en la definición, después de “tiene o no”
La conjetura de Collatz es un ejemplo de un problema abierto. Aquí hay un video corto sobre ella: http://sabelotodo.arnet.com.ar
Para verlo hay que desplegar la lista en «Mirá acá todos los videos de Adrián Paenza», luego seleccionar «Un problema sigue abierto» y hacer click en «Ver video».
Saludos Gaussianos.