Hoy os traigo el problema de esta semana, que en esta ocasión está relacionado con progresiones aritméticas. Ahí va:
Sea
una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones
y
son progresiones aritméticas. Demostrar entonces que la sucesión inicial
Suerte.
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Por inducción.
– comprobamos que se cumple para el primero.
s1,s2,s3
– si se cumple para el j
– demostrar que se cumple para el j+1
suponiendo que se cumple:
s(j), s(j+1), s(j+2)
entonces comprobar
¿ s(j+1), s(j+2), s(j+3) ?
llamamos: j=n+1
s(n+1), s(n+2), s(n+3)
que es lo que queremos comprobar
¿algo asi?
Bueno, a ver si es tan fácil como pienso y a ver si se entiende (perdón por no usar laTex, como siempre):
Defino las subsucesiones (por ser aritméticas) de la forma:
– Subsucesión 1: S(s(0)) = a(0,0), S(s(i+1)) = S(s(i)) + d(0)*i
– Subsucesión 2: S(s(0)+1) = a(1,0), S(s(i+1)+1) = S(s(i)+1) + d(1)*i
…………………………………………………………..
– Subsucesión m+1 (por comodidad en los subíndices):
S(s(0)+m) = a(m,0), S(s(i+1)+m) = S(s(i)+m) + d(m)*i
Entonces, vemos si la sucesión es aritmética:
( a(0,0) + a(1,0) + … + a(m,0) ) +
+ ( a(0,0) + d(0) ) + ( a(1,0) + d(1) ) + … + ( a(m,0) + d(m) ) +
+ ……………………………………………………… +
+ ( a(0,0) + d(0)*n ) + ( a(1,0) + d(1)*n ) + … + ( a(m,0) + d(m)*n ) =
= a + ( a + d ) + … + ( a + d*n )
siendo a = a(0,0) + a(1,0) + … + a(m,0)
d = d(0) + d(1) + … + d(m)
con lo cual la sucesión es aritmética, de primer término a y diferencia d.
Información Bitacoras.com…
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Bueno, dejo lo anterior porque la idea debe ser esa, pero está mal porque leí mal el enunciado. Seguiré meditándolo…
Por definición es
dos progresiones aritméticas, operando para despejar los índices de la original llegamos a que
así pues, aunque no estoy muy convencido no sólo queda demostrado que es aritmética, sino también su diferencia.
O más fácil:
Como
es progresión aritmética, se puede escribir así:
y el siguiente término de dicha progresión aritmética es
pero la diferencia entre dos elementos consecutivos de una progresión aritmética es constante (e igual, en la expresión indicada, a
) por tanto restando ambas tenemos que
es decir
como antes, lo que pasa es que me mosquea que no tenga que usar la segunda progresión aritmética.
Apuesto que hago algún razonamiento mal…
Has tomado la fórmula del término general de la progresión aritmética y has sustituido n por Sn, sin más. Supones de esa manera que hay Sn términos desde el primero hasta el S(sub)Sn cosa que no sabes. Digo yo.
Además, una progresión aritmética de diferencia dos tiene que esas dos subsucesiones son progresiones aritméticas también. Tu razonamiento concluye necesariamente que la diferencia es 1, asi que no puede ser correcto.
Tienes razón, los índices de las progresiones aritméticas son el mismo índice que el índice de la original (vaya,
).
Hagamos lo mismo entonces con el índice «verdadero».
estos dos términos son consecutivos en la progresión original (uno en la posición
y el otro en la siguiente), y su diferencia es
por tanto, o bien la proposición es falsa y las diferenencias en la progresión original dependen de
, o bien, se cumple forzosamente que ambas progresiones aritméticas tienen la misma 
en cuyo caso es trivial que se cumple la proposición.
Para demostrar que
basta darse cuenta que, puesto que la progresión no tiene final (se cumple infinitamente), como los términos de la primera progresión aritmética preceden a los de la segunda y como la sucesión original es estrictamente creciente, existiría un 
, tal que 
(caso de ser 
) o bien que 
(caso de ser 
), ninguna de ambas cosas permitidas.
Así de parrafada parece gran cosa, pero se trata de ver que los términos de ambas progresiones están emparejados en la sucesión original y que, puesto que tienen incrementos constantes, si fueran diferentes un incremento del otro, llegaría un momento que no se cumpliría la condición de «estrictamente creciente».
Y ya está.
Iba a escribir que tampoco es n, pero no importa porque creo que aunque no lo sea sí que VALE n, como valdría en cualquier progresión aritmética la variable n multiplicada por cualquier número (a condición de que ajustes la nueva pseudodiferencia).
Si le añades esta apostilla, creo que tienes una demostración.
Sí es
, sólo hay que superponer las series para ver que el término n-ésimo de una serie (cualquiera de las tres) tiene presente a 
como subíndice (en cualquier de las tres).
Que es precisamente el error que ha corregido vayapordios.
Mmmm. No hacía falta la apostilla.
Resuelto por reducción al absurdo.
Sea Sn una progresión que no es aritmética, luego, para ciertos i,k<n,
Si = S(i-1) + x
Sk = S(k-1) + x'
Entonces, para la progresión aritmética S[Sn],
S[Si] = S[Si-1] + (Si-1)y
S[Sk] = S[Sk-1] + (Sk-1)y
Pero entonces,
S[Si] = S[Si-1] + [S(i-1) + x – 1]y
S[Sk] = S[Sk-1] + [S(k-1) + x' -1]y
Como x,x' son distintos, S[Sn] no es una progresión aritmética, lo que contradice el enunciado. Por tanto, Sn es una progresión aritmética.
1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14…….
subsucesión 1: 1, 5, 9, 13……es aritmética
subsucesión 2: 2, 6, 10,14…..es aritmética
y la inicial es de enteros positivos estrictamente creciente y no aritmética.
marcos, el ejemplo que comentas no cumple las condiciones del enunciado. Los subíndices de la primera subsucesión deben coincidir con los términos de la sucesión inicial:
.