Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:
Sean
números reales pertenecientes al intervalo
cuya suma es cero. Demostrar que
Que se os dé bien.
Con suma cero
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir [latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Para maximizar la suma elegimos como positivo el mayor valor posible y como negativo el menor valor posible: a(1) = 2, a(2) = a(3) = … = a(n) = 2/(n-1). Para n = 2 la suma es obviamente 0 ya que a(2) = -a(1). Para n>2 la suma es 2^3 – 2^3/(n-1)^2 = 8(1 – 1/(n-1)^2) = 2n(4(n-2)/(n-1)^2). La expresión 4(n-2)/(n-1)^2 toma para n=3 el valor 1 y para n>3 es decreciente y siempre menor que 1. Luego la suma será, como máximo, igual a 2n para n=2 y, 3. Lo mismo ocurriría si tomamos a(1) = -2 y a(2)… Lee más »
Usaremos la fórmula cos(3x)=4cos^3x-3•cosx que se puede deducir fácilmente de las fórmulas trigonométricas del coseno de la adición de ángulos.
Despejando, obtenemos que cos^3x=(cos3x+3cosx)/4
Dado un a(i) perteneciente al intervalo [-2,2] existe un ángulo x(i) tal que a(i)=2•cosx(i)
Además, se cumple que cosx(1)+..+cosx(n)=0
Tenemos entonces que
|a(1)^3+a(n)^3|=8•|cos^x(1)+..+cos^3x(n)|=
=8•|(cos3x(1)+3cosx(1))/4+..(cos3x(n)+3cosx(n))/4|=
=2•|[cos(3x(1)+…+cos3x(n)]+[cosx(1)+…+cosx(n)]|=
= 2•|[cos(3x(1)+..+cos3x(n)]+0|<=
<=2|cos3(x(1)|+….+2|cos3x(n)|<=2•1+…+2•1=2n
Creo que la demostración más sencilla de este echo es por inducción sobre
:
es trivial, ya que 
.
sumandos, tenemos entonces que
Para
Supongamos que se verifica la proposición para
por tanto,
Excelente una vez más, pcrdeg!