El problema de esta semana es el siguiente:
Definimos la siguiente sucesión recurrente:
(siendo
la parte entera de
, es decir, el mayor número entero menor o igual que
En particular, se tiene que
y
.
Calcular el valor de
.
Como siempre, aunque los cálculos informáticos pueden ser interesantes, se pide un procedimiento matemático para la resolución del problema.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es el siguiente: Definimos la siguiente sucesión recurrente: (siendo la parte entera de , es decir, el mayor número entero menor o igual que ) En particular, se tiene que y . Calcular el valor de . …
Cuantos signos «+» ¿no?
¿acaso será un error del plug-in de latex?
a mí me pasó también, ver varios signos +, pero solamente desde el popup del coso de google reader de igoogle, acá en el sitio se ve bien.
Veo que
, lo cual permite expresar el valor en términos de potencias de 
. Con esto parece que debe salir ya. A ver si a la noche con más tiempo…
Yo por ahora he llegado a que:
Expresando la iteración de Gaby en forma matricial (y diagonalizando) se obtiene
Según http://www.research.att.com/~njas/sequences/A018903
, con 
y 
.
también cumple la recurrencia
Queda por demostrar que la definición del post, la de gaby y esta última dan la misma secuencia…
A partir de lo que dice Gaby es ya fácil. Es una combinación lineal de exponenciales siendo las bases las raíces de la ecuación de segundo grado x^2 – 6x + 4 = 0 y los coeficientes los ajustados mediante el uso de los dos primeros términos de la sucesión.
Para probar la recurrencia de Gaby nos liamos un poco con la parte entera y escribimos a partir de la definición
y trasladando índices e invirtiendo el
:
De la segunda desigualdad de (1) y la primera de (2) obtenemos sumando que
.
De la primera de (1) y la segunda de (2) obtenemos al sumar que
, lo cual nos da al tratarse de cantidades enteras 
.
De ambas cosas,
, que nos da la recurrencia de gaby.
Serían
y 
Y por lo tanto la combinación lineal sería:
Donde
Con lo que para n=2009 daría por resultado:
No se si es el resultado buscado pero se ha hecho lo que se ha podido.
El 567 del final esta en el exponente también, sería multiplicado por