No hay cosa más bella en matemáticas que un resultado geométrico curioso con una demostración simple (bueno, en realidad hay muchas cosas bellas en matemáticas, pero no me podréis negar que ésta es una de ellas). Hay muchos ejemplos que cumplen estas dos premisas, pero concretamente el que os traigo hoy podría considerarse como uno de los máximos exponentes de esta categoría. Damas y caballeros, les presento el teorema de Viviani.
Para quien no lo conozca, el teorema de Viviani trata sobre una curiosa propiedad que tienen los triángulos equiláteros (que son los que tienen todos sus lados iguales), y como aquí nos gustan mucho los triángulos es de justicia dedicarle un artículo a este bonito resultado. Vamos con él:
Antes de seguir, podéis hacer pruebas dibujando un triángulo equilátero (¿Cómo? ¿Que no sabes cómo hacerlo? Echa un ojo), tomando después varios puntos y midiendo, para todos ellos, sus distancias a los lados. Todas esas sumas deben daros el mismo resultado, que a su vez coincidirá con la medida de la altura del triángulo (al ser equilátero, las tres alturas miden los mismo).
Pero eso no nos sirve como demostración del resultado, necesitamos un desarrollo matemático que nos asegure la veracidad del mismo. En principio, para algo tan general podríamos pensar que una demostración de este hecho, aunque use herramientas no muy complejas, será muy elaborada y compleja…nada más lejos de la realidad. Es insultantemente sencillo demostrar el teorema de Viviani. Si no me creéis, seguid leyendo:
El teorema de Viviani se llama así porque fue Vincenzo Viviani, matemático y físico italiano del siglo XVII, el primero que publicó una demostración de este hecho allá por el año 1659. También es conocido por darle nombre a otras dos figuras geométricas: el cuerpo de Viviani y la curva de Viviani.
Como dato final, el teorema de Viviani sustenta el uso de los llamados diagramas de inflamabilidad, diagramas ternarios que se utilizan para mostrar la inflamabilidad de mezclas de ciertos porcentajes de combustible, comburente y gas inerte. Tenéis más información sobre ellos en Fammable diagram en la Wikipedia en inglés.
A modo de curiosidad, os comento que hace más de 10 años que tengo en mente escribir una entrada en el blog sobre el teorema de Viviani, pero lo fui dejando, y dejando, y dejando, y lo olvidé…hasta que esta publicación en la cuenta de Instagram de Fun With functions me lo recordó, y me animé a publicarlo en mi cuenta de Instagram, y después aquí para todos vosotros.
Por cierto, no es ni mucho menos el único tema con el que me pasa esto. Tengo posts a medio escribir desde hace más de 10 años, y cientos (literalmente) de temas sobre los que querría contaros cosas en el blog. Posiblemente no consiga hablaros de todos, pero espero tener la oportunidad de hacerlo con muchos de ellos.
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Una generalización interesante podría ser la siguiente:
¿Por qué limitarnos a puntos interiores al triángulo? El teorema funciona igual de bien si salimos del triángulo siempre que seamos capaces de asignar un signo a la distancia desde un punto a las rectas que prolongan los lados del triángulo. Supongamos que ABC es un triángulo equilátero. Diremos que un punto P cualquiera del plano está a una «distancia» positiva de la recta AB si P está en el mismo semiplano que C respecto a la recta AB. La «distancia» será negativa en caso contrario. Lo mismo para las distancias a las otras dos rectas. De este modo podemos enunciar, con este concepto de «distancia», el teorema generalizado a cualquier punto del plano: «Desde cualquier punto del plano la suma de las tres «distancias» a los tres lados de un triángulo equilátero es una constante, igual a la altura del triángulo»
Podríamos generalizar el teorema extendiéndolo a cualquier punto del plano. Bastaría para ello asignar un signo positivo o negativo a la distancia de un punto a una recta, del siguiente modo: consideremos un triángulo equilátero ABC. Un punto del plano P estará a una «distancia positiva» de la prolongación del lado AB si está en el mismo semiplano que C respecto a dicha recta; en caso contrario, la distancia tendría un signo negativo. Con esta condición, el teorema generalizado quedaría así:
«Dado un punto cualquiera del plano P, la suma de distancias (con el criterio de signos adoptado) desde P a los tres lados de un triángulo equilátero ABC, es constante e igual a la altura del triángulo»