El mundo del cálculo de integrales es maravilloso. Como ya hemos comentado por aquí en alguna ocasión, la integración es un arte, y como tal nos deja, en muchas ocasiones, resultados preciosos y, por qué no decirlo, algo inesperados.

Un ejemplo de ello, bastante conocido, es el de la integral gaussiana, cuyo resultado, que involucra a Pi, no se espera en un principio. Y otro ejemplo es el que os traigo hoy, en el cual aparece otra constante muy apreciada por los matemáticos (y por los que no lo son tanto) que, como reza el título, inunda de «oro» a la propia integral.

La idea la saqué de esta publicación en el Instagram de @fermatsibrary y, aunque he dejado el desarrollo en mi cuenta de Instagram, creo que merece la pena mostrarlo también aquí, dada la cantidad de funciones interesantes que aparecen en él y lo bonito de los desarrollos que son necesarios para su cálculo.

El resultado el es siguiente:

No me podréis negar que no choca nada más verlo. Y sí, es bellísimo, lo sé.

Bueno, vamos al tema. La idea que vamos a usar comienza haciendo la sustitución x=senh(t). Sabiendo que (senh(t))'=cosh(t):

\displaystyle{\int \cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=\int \cfrac{1}{\sqrt{senh^2(t)+1}} \cdot cosh(t) dt=}

Como cosh^2(t)-senh^2(t)=1, tenemos:

\displaystyle{=\int \cfrac{1}{\sqrt{cosh^2(t)}} \cdot cosh(t)dt=\int \cfrac{1}{cosh(t)} \cdot cosh(t)dt=}

Simplificamos, integramos y deshacemos el cambio (sabiendo que t=arg \, senh(x)):

\displaystyle{=\int dt=t+C=arg \, senh(x) +C}

Aplicando ahora los límites de integración, queda lo siguiente:

\displaystyle{\int_0^{1/2} \cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=arg \, senh \left (\frac{1}{2} \right )-arg \, senh(0) \qquad (1)}

Trabajemos ahora con arg \, senh(x). Si lo llamamos y, tenemos que

arg \, senh(x)=y \Rightarrow senh(y)=x

Como senh(t)=\cfrac{e^t-e^{-t}}{2}, podemos desarrollar así:

\cfrac{e^y-e^{-y}}{2}=x \rightarrow e^y-e^{-y}=2x \rightarrow e^{2y}-1=2xe^y \rightarrow e^{2y}-2xe^y-1=0

Haciendo el cambio e^y=u, nos queda la ecuación u^2-2xu-1=0. Resolvemos y nos quedamos con la solución positiva (porque e^y es positivo siempre):

u=\cfrac{2x \pm \sqrt{4x^2+4}}{2} \rightarrow u=x + \sqrt{x^2+1}

Deshacemos el cambio e^y=u:

e^y=x + \sqrt{x^2+1} \Rightarrow y=log(x+\sqrt{x^2+1})

Entonces arg \, senh(x)=log(x+\sqrt{x^2+1}). Sustituyendo tenemos que

arg \, senh(0)=log(0+\sqrt{0^2+1})=log(1)=0

y que

\begin{matrix} arg \, senh \left ( \cfrac{1}{2} \right )=log \left ( \cfrac{1}{2}+\sqrt{ \left (\cfrac{1}{2} \right )^2+1} \right )=log \left ( \cfrac{1}{2}+\sqrt{ \cfrac{5}{4}} \right )=\\ =log \left ( \cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{5}}{2} \right )=log \left (\cfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right )=log(\phi) \end{matrix}

De todo esto, obtenemos el resultado buscado:

\displaystyle{\int_0^{1/2} \cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=arg \, senh \left (\frac{1}{2} \right )-arg \, senh(0)=log(\phi)}

Como decíamos, un precioso resultado que, además de ser ciertamente sorprendente, mezcla en su desarrollo un buen puñado de funciones interesantes y una serie de técnicas de cálculo que merece la pena conocer. Hablo del desarrollo que se me ha ocurrido a mí, pero me consta que no es la única forma de demostrarlo (al menos conozco una más). ¿Qué otras maneras se os ocurren? Tenéis los comentarios para contarnos vuestras ideas.

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