Estoy seguro de que muchos de vosotros habréis visto una animación bastante conocida en la que se corta en cuatro piezas un triángulo equilátero y, sin separarlas y de manera «articulada» (como si tuvieran bisagras), dichas piezas se recolocan formando exactamente un cuadrado. Me refiero a la que se muestra en esta secuencia de imágenes (fuente):
La cuestión que nos planteamos hoy es la siguiente: ¿para qué figuras planas se puede construir una disección así? Esto es, ¿para qué parejas de figuras planas puedo construir una disección articulada que convierta una de las figuras en la otra?
Comencemos por el principio. Está demostrado un resultado, conocido como teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien (aunque también lo he visto como teorema de bolyai-Gerwien solamente), que básicamente dice lo siguiente:
Vamos, que podemos hacer lo que se comenta al principio de esta entrada si no pedimos que las piezas estén articuladas. La idea intuitiva de la demostración, que os dejé también en el artículo relacionado con este teorema, es sencilla:
Sobre esto, ya os dejé una animación hace un tiempo en Instagram en la que se pasa de un cuadrado a un hexágono regular:
Además, os recomiendo encarecidamente que visitéis la web Scissors Congruence. En ella, podéis dibujar dos polígonos cuales quieras y la propia web crea una animación recortando en piezas el primero y formando con ellas el segundo. Vale tanto para polígonos convexos como para no convexos, y la verdad es que es hipnótico ver cómo sale la disección de ambos polígonos y cómo las piezas de uno acaban reconstruyendo exactamente el otro.
Pero volvamos a nuestra cuestión inicial. Poder pasar entre polígonos recortando uno en piezas que acaban formando el otro es una pasada, pero queremos más: ¿se podría hacer con una disección articulada?
Pues resulta que la respuesta es sí: podemos encontrar una disección articulada que pasa de un polígono cualquiera a otro que tenga la misma área. Estas disecciones articuladas, también llamadas disecciones con bisagras (hinged dissections, en inglés) pueden por tanto encontrarse en todos los casos, con la única condición de que ambos polígonos sean de áreas iguales (igual que en las no articuladas).
El trabajo que demuestra este resultado es Hinged Dissections Exist, y se lo debemos a Erik Demaine, quien, junto a Timothy G. Abbott, Zachary Abel, David Charlton, Martin L. Demaine y Scott D. Kominers, lo presentó en 2007.
También hablan de disecciones articuladas para poliedros 3D, articulando las caras. Aunque, en general, no hay disección en todos los casos (lo demostró Max Dehn, hay información en mi post sobre el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien), para ellos demuestran que, si hay una disección sin articular, también hay una articulada. Por cierto, todas las demostraciones que dan son constructivas, esto es, dan algoritmos para construir dichas disecciones articuladas tanto en 2D como en 3D.
Para quien quiera ver alguna más, en esta web hay algunas, aunque es algo antigua, necesita descargar algunas cosas y algunas de las imágenes no se ven. Pero bueno, algo hay.
Por cierto, no es la primera vez que Erik Demaine aparece en Gaussianos. Ya lo hizo en Demostrado que algunos juegos clásicos de Nintendo son NP-Hard, en el que demostraba algunos resultados sobre complejidad computacional relacionados con juegos como Super Mario Bros, Legend of Zelda o Donkey Kong. Os recomiendo echarle un ojo a su web personal, Erik Demaine, tenéis horas y horas de artículos y curiosidades en ella.
La imagen principal está hecha con Gemini.
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