Es impresionante la cantidad de relaciones dignas de mención que se producen entre números naturales. Por ello, este conjunto numérico es una fuente inagotable de ejercicios y problemas de todos los niveles y dificultades imaginables.

En este blog han aparecido ya bastantes cuestiones relacionadas con los naturales, principalmente propuestas como problema, aunque en algunos casos se han mostrado en forma de artículo explicativo. Hemos hablado de ciertos números naturales concretos, como el 6174 o el 1089, y sobre ciertos conjuntos de números reales, como en el post sobre el número de Frobenius o en el de los conjuntos CuCu (curiosísimo este artículo, por cierto). La entrada de hoy es de éstas (sí, sigo acentuando los demostrativos cuando creo que debo hacerlo, me sale solo y en cierto modo no quiero quitarme esa costumbre), en forma de artículo. Os voy a hablar de una curiosa identidad y de la historia de la misma: la identidad de Proizvolov.

La identidad de Proizvolov

Vamos a introducir poco a poco este resultado. Comencemos con los números naturales del 1 al 8, esto es, el conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}. Tomemos cuatro de ellos, los que queramos, \{1,3,4,8 \} por ejemplo. Nos han quedado entonces los números \{2,5,6,7 \} sin elegir. Tenemos entonces dos conjuntos de cuatro números cada uno. Ordenemos el primero de ellos de menor a mayor, tal cual está ahora, y el segundo de mayor a menor, es decir, \{7,6,5,2 \}. Restemos ahora cada elemento del primero conjunto menos el que está en la misma posición en el segundo, pasando a positivo los resultados de las restas que den un número negativo (haciéndole el valor absoluto a cada resultado, vamos):

\begin{matrix} 1-7=-6 \rightarrow 6 \\ 3-6=-3 \rightarrow 3 \\ 4-5=-1 \rightarrow 1 \\ 8-2=6 \rightarrow 6 \end{matrix}

Sumemos los resultado obtenidos:

6+3+1+6=16

¿Cuántos elementos tenía cada uno de los dos conjuntos que nos quedaron? Sí, 4 elementos. ¿Y qué es 16? Pues…16=4^2. Uhmmmm…curioso.

Probemos con otra elección, digamos, \{2,3,6,8 \}. El otro conjunto quedaría así al ordenarlo de mayor a menor: \{7,5,4,1 \}. Haciendo lo mismo que antes:

\begin{matrix} 2-7=-5 \rightarrow 5 \\ 3-5=-2 \rightarrow 2 \\ 6-4=2 \rightarrow 2 \\ 8-1=7 \rightarrow 7 \end{matrix}

Y ahora queda la siguiente suma:

5+2+2+7=16

Vaya, otra vez 16=4^2…

Probad con otras posibles de elecciones en este conjunto, o con cualquier otro conjunto de números naturales que comience en el 1 y termine en un número par…siempre obtendréis que el resultado de la suma anterior es igual al cuadrado de la cantidad que representa a la mitad de los elementos. Formalicemos esto un poco:

Tomamos los primeros 2N números naturales

\{1, 2, \ldots, 2N-1, 2N \}

y los dividimos en dos conjuntos de números con N elementos cada uno, ordenando el primero de ellos de menor a mayor, digamos a_1 < a_2 < \ldots < a_N[/latex], y el segundo de mayor a menor, digamos [latex]b_1 > b_2 > \ldots > b_N. Entonces, \forall N \in \mathbb{N} se tiene que:

|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+ \ldots +|a_N-b_N|=N^2

Curiosa propiedad, ¿verdad? Bien, pues esta identidad que se da con estos conjuntos de números naturales se denomina identidad de Proizvolov. Y recibe ese nombre porque al parecer Vyacheslav Proizvolov la propuso en 1985 como ejercicio en unas olimpiadas matemáticas que se celebraban en la Unión Soviética. Por cierto, no deja de sorprender que no se tenga constancia de esta propiedad de los números naturales antes de 1985, teniendo en cuenta que no está demasiado escondida entre ellos (corregidme sobre esto si me equivoco).

Bien, esta identidad tendrá demostración, ¿verdad? ¡Pues claro! Vamos a verla.

Demostración de la identidad de Proizvolov

Recordemos que tenemos el conjunto de números naturales \{1,2, \ldots ,2N-1,2N \} dividido en dos conjuntos \{a_1, \ldots ,a_N \} (ordenado de menor a mayor) y \{b_1, \ldots ,b_n \} (ordenado de mayor a menor), y que después para cada i \in \{1,2, \ldots N \} calcularemos |a_i-b_i|.

Bien, es bastante evidente que de cada pareja (a_i,b_i) se tiene que exactamente uno de ellos está en el conjunto \{1,2, \ldots N \} y el otro en \{N+1, N+2, \ldots , 2N \}. ¿Por qué? Muy sencillo. Supongamos que tanto a_i como b_i son menores o iguales que N, para algún i. Entonces tendríamos que tanto \{a_1, a_2, \ldots ,a_i \} como \{b_i,b_{i+1}, \ldots, b_N \} serían elementos del conjunto \{1, 2, \ldots, N \} (en el primer caso porque los a_k están ordenados de menor a mayor y en el segundo porque los b_k están ordenados de mayor a menor). ¿Cuántos son los primeros? Pues i números. ¿Y los segundos? Pues…N-i+1. Si sumamos llegamos a que hay i+(N-i+1)=N+1 números en el conjunto \{1,2, \ldots , N \}, que precisamente tiene N elementos, hecho que es a todas luces contradictorio.

Lo mismo ocurre si suponemos que tanto a_i como b_i son mayores que N.

Bien, llegados a este punto vamos a calcular cuánto vale la suma de los valores absolutos de las diferencias. En cada término, como hacemos valor absoluto obtendremos que la suma que queda es precisamente el número más grande menos el más pequeño. Y como en cada pareja hay exactamente un elemento de los primeros N y otro de los siguientes (y no se repiten elementos), es claro que esta suma es el resultado de restar la suma de los últimos N números menos la suma de los primeros N números, es decir:

\begin{matrix}|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+ \ldots +|a_N-b_N|= \\ =((N+1)+(N+2)+ \ldots + 2N)-(1+2+ \ldots + N)= \end{matrix}

Sumemos y restemos ahora (1+2+ \ldots + N) en el resultado anterior. Conseguimos así que el primer término sea la suma de los 2N primeros números naturales, quedando el segundo como el doble de la suma de los N primeros

=(1+2+ \ldots +2N-1+2N)-2 \cdot (1+2+ \ldots +N)=

Recordando que la suma de los primeros k números naturales es k \cdot (k+1)/2, tenemos

=\cfrac{2N \cdot (2N+1)}{2}-2 \cdot \cfrac{N \cdot (N+1)}{2}=

de donde operando (simplificando 2 en ambas fracciones, multiplicando y restando) llegamos a que

=2N^2+N-N^2-N=N^2

que es el resultado buscado.

Y para terminar, comentar que en Cut The knot tienen un applet relacionado con esta identidad, y también hablan de la demostración de la misma. El enlace está un pelín más abajo.

Fuentes:

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