Es impresionante la cantidad de relaciones dignas de mención que se producen entre números naturales. Por ello, este conjunto numérico es una fuente inagotable de ejercicios y problemas de todos los niveles y dificultades imaginables.
En este blog han aparecido ya bastantes cuestiones relacionadas con los naturales, principalmente propuestas como problema, aunque en algunos casos se han mostrado en forma de artículo explicativo. Hemos hablado de ciertos números naturales concretos, como el 6174 o el 1089, y sobre ciertos conjuntos de números reales, como en el post sobre el número de Frobenius o en el de los conjuntos CuCu (curiosísimo este artículo, por cierto). La entrada de hoy es de éstas (sí, sigo acentuando los demostrativos cuando creo que debo hacerlo, me sale solo y en cierto modo no quiero quitarme esa costumbre), en forma de artículo. Os voy a hablar de una curiosa identidad y de la historia de la misma: la identidad de Proizvolov.
La identidad de Proizvolov
Vamos a introducir poco a poco este resultado. Comencemos con los números naturales del 1 al 8, esto es, el conjunto . Tomemos cuatro de ellos, los que queramos,
por ejemplo. Nos han quedado entonces los números
sin elegir. Tenemos entonces dos conjuntos de cuatro números cada uno. Ordenemos el primero de ellos de menor a mayor, tal cual está ahora, y el segundo de mayor a menor, es decir,
. Restemos ahora cada elemento del primero conjunto menos el que está en la misma posición en el segundo, pasando a positivo los resultados de las restas que den un número negativo (haciéndole el valor absoluto a cada resultado, vamos):
Sumemos los resultado obtenidos:
¿Cuántos elementos tenía cada uno de los dos conjuntos que nos quedaron? Sí, 4 elementos. ¿Y qué es 16? Pues…. Uhmmmm…curioso.
Probemos con otra elección, digamos, . El otro conjunto quedaría así al ordenarlo de mayor a menor:
. Haciendo lo mismo que antes:
Y ahora queda la siguiente suma:
Vaya, otra vez …
Probad con otras posibles de elecciones en este conjunto, o con cualquier otro conjunto de números naturales que comience en el 1 y termine en un número par…siempre obtendréis que el resultado de la suma anterior es igual al cuadrado de la cantidad que representa a la mitad de los elementos. Formalicemos esto un poco:
Tomamos los primeros
números naturales
y los dividimos en dos conjuntos de números con
elementos cada uno, ordenando el primero de ellos de menor a mayor, digamos
. Entonces,
se tiene que:
Curiosa propiedad, ¿verdad? Bien, pues esta identidad que se da con estos conjuntos de números naturales se denomina identidad de Proizvolov. Y recibe ese nombre porque al parecer Vyacheslav Proizvolov la propuso en 1985 como ejercicio en unas olimpiadas matemáticas que se celebraban en la Unión Soviética. Por cierto, no deja de sorprender que no se tenga constancia de esta propiedad de los números naturales antes de 1985, teniendo en cuenta que no está demasiado escondida entre ellos (corregidme sobre esto si me equivoco).
Bien, esta identidad tendrá demostración, ¿verdad? ¡Pues claro! Vamos a verla.
Demostración de la identidad de Proizvolov
Recordemos que tenemos el conjunto de números naturales dividido en dos conjuntos
(ordenado de menor a mayor) y
(ordenado de mayor a menor), y que después para cada
calcularemos
.
Bien, es bastante evidente que de cada pareja se tiene que exactamente uno de ellos está en el conjunto
y el otro en
. ¿Por qué? Muy sencillo. Supongamos que tanto
como
son menores o iguales que
, para algún
. Entonces tendríamos que tanto
como
serían elementos del conjunto
(en el primer caso porque los
están ordenados de menor a mayor y en el segundo porque los
están ordenados de mayor a menor). ¿Cuántos son los primeros? Pues
números. ¿Y los segundos? Pues…
. Si sumamos llegamos a que hay
números en el conjunto
, que precisamente tiene
elementos, hecho que es a todas luces contradictorio.
Lo mismo ocurre si suponemos que tanto como
son mayores que
.
Bien, llegados a este punto vamos a calcular cuánto vale la suma de los valores absolutos de las diferencias. En cada término, como hacemos valor absoluto obtendremos que la suma que queda es precisamente el número más grande menos el más pequeño. Y como en cada pareja hay exactamente un elemento de los primeros y otro de los siguientes (y no se repiten elementos), es claro que esta suma es el resultado de restar la suma de los últimos
números menos la suma de los primeros
números, es decir:
Sumemos y restemos ahora en el resultado anterior. Conseguimos así que el primer término sea la suma de los
primeros números naturales, quedando el segundo como el doble de la suma de los
primeros
Recordando que la suma de los primeros números naturales es
, tenemos
de donde operando (simplificando 2 en ambas fracciones, multiplicando y restando) llegamos a que
que es el resultado buscado.
Y para terminar, comentar que en Cut The knot tienen un applet relacionado con esta identidad, y también hablan de la demostración de la misma. El enlace está un pelín más abajo.
Fuentes:
- Proizvolov’2 identity en la Wikipedia inglesa.
- Mathematical miniatures, en Google Books.
- Proizvolov’s identity en Cut The Knot.
- En esta entrada de mathoverflow también han hablado de la identidad de Proizvolov.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Es impresionante la cantidad de relaciones dignas de mención que se producen entre números naturales. Por ello, este conjunto numérico es una fuente inagotable de ejercicios y problemas de todos los niveles y dificultades ……
Perfecta propiedad para hacer un truco de magia…
josejuan, pues sí, es una propiedad muy buena para crear juegos y trucos de magia :). ¿Se os ocurre algo?
. Hablando de relaciones curiosas entre los naturales, otra particion notable del conjunto de los ocho primeros numeros naturales ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) es la siguiente particion en dos subconjuntos: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) = ( 1, 4, 6, 7 ) + ( 2, 3, 5, 8 ) los cuales tienen esta curiosa relacion entre sus elementos: 1^0 + 4^0 + 6^0 + 7^0 = 2^0 + 3^0 + 5^0 + 8^0 1^1 + 4^1 + 6^1 + 7^1 = 2^1 + 3^1 + 5^1 + 8^1 1^2… Lee más »
en la parte final de la demostración no es mejor hacer esto?
= ((N + 1) + (N + 2) +…(N + N)) – (1 + 2 + …N)
= ((N + 1 – 1) + (N + 2 – 2)+…(2N – N))
= N + N + N +…N
= N^2
es más fácil y necesita menos explicación
carlos, pues sí, el caso es que no lo había pensado así, y es cierto que es mucho más sencillo. Gracias por el apunte :).
[…] First, Understanding Uncertainty took a calm look at the new on cell phones and brain cancer and Gaussianos followed with a look at Proizlov’s Identity (translation). Then FlowingData looked at visualizations of online dating profiles while Michael […]
^DiAmOnD^, josejuan. Pues a mi se me a ocurrido un truco de magia bastante sencillo… para alguien que conozca esta fórmula entenderá el truco de una. Quizás se complique un poco en las instrucciones… Voy a enviártelo por correo ^DiAmOnD^.
De acuerdo ZetaSelberg, espero tu mail :).
Para obtener el resultado podemos restar las sumas de las dos progresiones aritméticas 2N, 2N – 1, …. N+1 y N, N – 1 … 1 y quedaría:
= N * (3N + 1) / 2 – N * (N + 1) / 2 = N^2