Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática Española 2012. Buen día éste para terminar la serie de problemas de la OME. Ahí va:
Sea
un triángulo acutángulo,
su circunferencia inscrita de centro
,
su circunferencia circunscrita de centro
, y
el punto medio de la altura
, donde
pertenece al lado
. La circunferencia
. La recta
corta a
, y la perpendicular desde
. Las rectas
y
son tangentes a la circunferencia
y
respectivamente. Probar que los puntos
y
A por él, que es el último.
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Este nadie lo resolvió correctamente en la OME
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juanripu, ¿nadie? Yo confío en nuestros grandes comentaristas, especialmente en Fede.
yo lo resolvi en una hora muy bonito ejercicio
como NS=NR y NP=ND para demostrar que RPDS estan sobre una circunferencia notamos que IN es mediatriz de PD y ON mediatriz de RS, por lo que demostrariamos que ND=NS y esta demostrado.
ahora bien NS^2=NB*NC, entonces sucederia que ND^2=NB*NC lo cual demostraremos, es facil notar que triangulo NID es semejante a MDH y de esto ND= (ID*AH)/2HD=(rh)/2HD
NB*NC=((rh)/2HD-(s-b))*((rh)/2HD+(s-c))=((rh)/2HD)^2+(rh/2HD)(b-c)-(s-c)(s-b) despues de una buena simplificacion se llega a que (rh/2HD)(b-c)-(s-c)(s-b)=0 y por ende NB*NC=((rh)/2HD-(s-b))*((rh)/2HD+(s-c))=((rh)/2HD)^2+0=ND^2=NS^2 y lo demas sale por obviedad
Una demostración considerando polos y polares respecto al incírculo
:
Como IN es perpendicular a MD ,y BC es tangente a
en D, el polo de MD es el punto N.
con centro N que pasa por D también pasa por P.
Entonces la circunferencia
Si E y F son los puntos de contacto de
con AB y AC, la polar de A es la recta EF.
Sea G la interección de EF con BC.
La polar de M es una recta que pasa por N, porque N es el polo de MD.
La polar de H es una recta que pasa por D , porque HD es tangente al incírculo.
La polar del punto del infinito de la altura es la paralela a BC que pasa por I.
Esas cuatro polares se cortan en el polo de la altura, y el lado BC las corta en los puntos G,D,N,
, que serán una cuaterna armónica porque los puntos A,H,M,
lo son y la armonía se preserva en esas transformaciones.
Entonces N es el punto medio de G y D y por tanto GD es diámetro de
.
Pero G,D,B,C forman una cuaterna armónica, como se ve inmediatamente aplicando una transformación que convierta el triángulo ABC en isósceles.
es ortogonal a todas las circunferencias que pasan por B y C y en particular a 
.
pasa por los puntos de tangencia R y S.
Entonces
Y por tanto
El resultado se puede reformular como:
La recta polar respecto al incírculo del punto de intersección del eje radical del incírculo y circuncírculo con un lado corta por la mitad a la altura sobre ese lado.
Lo que no veo es que ABC tenga que ser acutángulo.
Me doy cuenta ahora de que aunque G,D,B,C son una cuaterna armónica, el argumento dado para justificarlo no es válido. Buscaré alguna prueba de ese hecho.
G,D,B,C forman una cuaterna armónica porque el cuadrángulo completo AEXF, donde X es el punto de Gergonne, corta a BC en G,D,B,C.
G,D,B ,C son armonicos si aplicas Ceva y Menelao del hecho que AD, CE y BF son concurrentes y de que G, E, F estan alineados
Porque no hacen la figura…