El problema de esta semana es otro aporte de Domingo (muchísimas gracias otra vez) a esta sección. Y la verdad es que es muy original. Paso si más dilación a explicarlo y dejo además una imagen descriptiva del asunto que también me ha enviado Domingo:

Consideramos la sucesión de circunferencias concéntricas definida de forma recurrente del siguiente modo:

  1. Partimos de una circunferencia de radio 1 a la que llamamos C_3. Inscribimos en esta circunferencia un triángulo equilátero.
  2. En el triángulo equilátero anterior se construye su circunferencia inscrita, que llamaremos C_4; y en esta circunferencia inscribimos un cuadrado.
  3. En el cuadrado inscribimos otra circunferencia, que llamamos C_5, y después inscribimos en ésta un pentágono regular.
  4. En el pentágono regular se inscribe otra circunferencia, llamada C_6, y ahora se le inscribe a esta circunferencia un hexágono regular.
  5. Continuamos este proceso hasta el infinito.
  6. Las circunferencias así obtenidas son concéntricas (tienen el mismo centro) y sus radios son cada vez más pequeños. Es decir, tomando los radios de las mismas obtenemos una sucesión decreciente de números reales estrictamente positivos.La pregunta es la siguiente:

    ¿Cuál es la circunferencia límite a la que tiende el proceso? Es decir, ¿Cuál es el límite del radio de las circunferencias cuando el proceso se hace hasta el infinito? ¿Vale cero dicho radio (es decir, la circunferencia límite es un punto) o tiende a algún número positivo (esto es, la circunferencia límite es una circunferencia con radio positivo)?

    Adjuntamos imagen:

    Circunferencias concéntricas y polígonos inscritos

Según Domingo «este problema es más sencillo que el del producto de senos«. Vamos con esas aportaciones.

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