Suma de senos positiva

Publicado por ^DiAmOnD^ | 26 noviembre, 2012 | Juegos | 14 |

Hoy lunes damos comienzo a este nuevo período de siete días con el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sean $x_1,x_2,\ldots, x_n$ números reales tales que

$\sin(x_1)+\sin(x_2)+\ldots+\sin(x_n)\geq n\sin(\alpha)$

siendo $\alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]$ . Demostrar que

$\sin(x_1-\alpha)+\sin(x_2-\alpha)+\ldots+\sin(x_n-\alpha)\geq 0$

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes encontrarme también en Twitter, en Instagram, en Geogebra.org y en Facebook.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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14 Comments

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René

26/11/2012 20:42

basta con considerar la sumatoria
$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { e }^{ { x }_{ k }i } }$ tomar la parte imaginaria y lo demás es álgebra sencilla…

27/11/2012 00:55

En primer lugar, veamos por inducción, que
$\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2\leq n^2, \forall n\in\mathbb{N}$

Para $n=1$ , el resultado es obvio. Supongamos el resultado cierto para $m\in\mathbb{N}$ y veamos que también es cierto para $m+1$ .

Aplicando la hipótesis de inducción, se obtiene:

$\left(\sum_{k=1}^{m+1}\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{m+1}\cos x_k\right)^2\leq m^2+1+2\sum_{k=1}^m\left(\cos x_k\cos x_{m+1}+\sin x_k\sin x_{m+1}\right)=$

$=m^2+1+2\sum_{k=1}^m\cos(x_k-x_{m+1})\leq m^2+1+2m=(m+1)^2$

Apoyándonos en este resultado se prueba, fácilmente, lo enunciado en el ejercicio:

De la hipótesis del ejercicio, se obtiene:

${\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\geq n^2\sin^2\alpha =n^2-n^2\cos^2\alpha\Longrightarrow n^2\cos^2\alpha\geq \left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2 }$

Como ${\displaystyle\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \cos\alpha\geq 0}$ y por tanto, tomando raíces cuadradas en la expresión anterior se obtiene:

$n\cos\alpha\geq\sum_{k=1}^n\cos x_k$

Finalmente, concluimos:

${\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin(x_k-\alpha)=\sum_{k=1}^n(\sin x_k\cos\alpha-\cos x_k\sin\alpha)=\cos\alpha\sum_{k=1}^n\sin x_k-\sin\alpha\sum_{k=1}^n\cos x_k\geq}$

${\displaystyle\geq ncos\alpha\sin\alpha-n\sin\alpha\cos\alpha=0}$

Responde

Ricardo

27/11/2012 01:53

No necesitas inducción para mostrar la primer desigualdad. La puedes mostrar usando Cauchy-Schwarz:
$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n \sin x_k\bigg)^2 + \bigg(\sum_{k=1}^n \cos x_k\bigg)^2 \le n \sum_{k=1}^n \sin^2 x_k + n\sum_{k=1}^n \cos^2 x_k$
$= \displaystyle n \sum_{k=1}^n \big( \sin^2 x_k + \cos^2 x_k) = n^2.$

Responde

27/11/2012 10:35

Ricardo, muchas gracias por la observación.

arepne

27/11/2012 20:24

Otro enfoque:
( ∑ sen xi ) / n ≥ sen a
supone que habrá un angulo xm cuyo seno es la media de los sen xi tal que
sen xm ≥ sen a
y, por tanto,
xm ≥ a para 0 ≤ xm ≤ π/2
Si todos los xi están comprendidos entre –π/2 y π/2 la media de los cosenos de los xi será
( ∑ cos xi ) / n = cos xm ≤ cos a
Si algunos | xi | son mayores que π/2 sus cosenos serán negativos y
( ∑ cos xi ) / n ≤ cos xm ≤ cos a
por tanto, para todo xi
∑ cos xi ≤ n cos a

Responde

29/11/2012 23:32

La desigualdad

${\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\leq n^2}$

Además de por inducción, o aplicando Cauchy-Schwarz, también se puede obtener de esta otra:
Si $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n$ y $b_1\geq b_2\geq \cdots\geq b_n$ entonces $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)\leq n\sum_{k=1}^n a_kb_k$

Esta desigualdad se puede probar a partir de

${\displaystyle\sum_{1\leq j\leq k\leq n}(a_k-a_j)(b_k-b_j)\geq 0}$

(ejercicio propuesto en la página 33 del libro »Análisis Matemático» de Tom M. Apostol 2ª edición).

Sinuhé

01/12/2012 04:25

¡Vaya, apreciados amigos!

Y yo que quería proponer con mi mayor ingenuidad algo tan básico como lo siguiente, a ver si el problema salía:

$sin(x_1 - \alpha)+sin(x_2 - \alpha)+...+sin(x_n - \alpha) =$

$[sin(x_1)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_1)]+[sin(x_2)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_2)]+...$

$+[sin(x_n)cos(\alpha)-sin(\alpha)cos(x_n)]$

Por definición de seno de la diferencia de ángulos

Responde

Sinuhé

01/12/2012 05:40

Y pensar que sucede si $\alpha = 0$

Responde

Sinuhé

01/12/2012 05:46

qué sucede! quise decir…

Responde

Ricardo

01/12/2012 08:53

Si $\alpha=0$ , $\sin\alpha=0$ y no hay nada que demostrar.

Responde

Sinuhé

01/12/2012 17:18

No hay nada que demostrar porque es trivial o qué?

Por condición del problema $\alpha \in [0,\pi/2]$

Responde

Ricardo

02/12/2012 02:55

Porque, si $\alpha=0$ y $\sin\alpha=0$ , entonces ambas desigualdades son la misma:
$\sin x_1 + \ldots + \sin x_n \ge 0$ .

Responde

Sinuhé

02/12/2012 05:20

O sea es un caso particular trivial que se cumple, así se diría matemáticamente no?

Atte. un ingeniero aficionado a las matemáticas.

Responde

Sinuhé

02/12/2012 18:46

Lo que intentaba era maximixar el lado izquierdo de la primera desigualdad…

ojo! intentaba… no sé como maximizarla, o acotar, o minimizarla y buscarle una cota inferior, etc.

Responde

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