¿Qué relación puede existir entre los números de la sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas? ¿Qué nexos de unión puede haber entre los números que forman la secuencia que comienza con dos unos y para la que el resto de términos se obtiene sumando los dos anteriores y las ternas de números que cumplen que la suman de los cuadrados de los dos primeros es el cuadrado del tercero? ¿Se os ocurre alguna? Pues hoy vamos a ver una bastante interesante.
Antes de nada, vamos a ponerle símbolos matemáticos al asunto. Aunque los dos conceptos que vamos a relacionar en esta entrada son muy conocidos, no está de más recordarlos.
La sucesión de Fibonacci tiene la siguiente definición por recurrencia:
Y una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos tales que
.
Veamos esta relación tan interesante entre ellos:
Toma cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Los que sean,
por ejemplo. Ahora haz las siguientes operaciones:
1.- Multiplica los de los extremos, el más grande y el más pequeño, y llama
a ese producto:
.
2.- Multiplica por dos el producto de los intermedios y llama
al resultado:
.
3.- Multiplica los que están en posición impar (el primero y el tercero) y por otro lado los que están en posición par (segundo y cuarto) y suma los resultados, llamando
a lo que queda:
.
Entonces,
es una terna pitagórica.
¿No os parece precioso?
¡¡Y además, la demostración es bien sencilla!! Vamos a verla:
Como
son cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, tenemos que
y que
. Entonces podemos expresarlos todos en función de
y
de la siguiente forma:
Veamos ahora qué serían
:
Es decir, nuestra terna de números
tendría la forma
para dos números
que lo único que cumplen es que son números de Fibonacci consecutivos y que al menos hay uno en la sucesión que es menor que ellos.
O lo que es lo mismo, nuestra terna
es una terna pitagórica. ¿En serio que esos números forman una terna pitagórica? Sí. Quien esté un poco vago puede mirar el enlace sobre ternas pitagóricas que dejo al final del post. Quien tenga «ganas de cuentas» puede realizar la comprobación de que la suma de los cuadrados de los dos primeros da el cuadrado del tercero:
Maravilloso, ¿verdad? Un par de ejemplos:
1) Tomamos la terna (5,8,13,21). Tenemos que
Y ahora:
2) Otro ejemplo, con números algo más grandes. Tomamos los números . Entonces
y
En realidad esta propiedad no es exclusiva de la sucesión de Fibonacci, sino, como se puede intuir, de cualquier sucesión que se construya como la propia sucesión de Fibonacci. Hasta existen generalizaciones para sucesiones cuyos términos se van obteniendo de los dos primeros con la expresión . Podéis ver estos y alguna cosa más en The Pythagonacci Family Reunion, de Dan Kalman (sí, el del teorema más maravilloso de las matemáticas) y Robert Mena, que es el artículo donde vi lo que os he contado hoy.
En Gaussianos ya hemos hablado de estos dos objetos matemáticos:
Cuarta aportación de Gaussianos a la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que organizan en pimedios.
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Pero como construir un cuadrado con dos números no cuadrados ?… Es decir dado un número X, calcular cuantos numeros impares consecutivos no necesariamente a partir del primero, es decir 1, hay que sumarle para cuadrarlo ?.
Por ejemplo para x=5, si le sumamos y= 21+23 nos da 49 =Z , que es un cuadrado perfecto.
Otro ejemplo pero este con x no cuadrado perfecto e Y si y Z también: x=95 y= 1+3+5+7+9+11+13 =49=7^2, entonces z= 144
Ricardo, no entiendo tu propuesta. Cualquier número se diferencia de cualquier cuadrado de distinta paridad mayor que él en un único impar.
Ejemplos: Al 3 le podemos sumar 1 para obtener 4 o le sumamos 13 para obtener 16, o le sumamos 33 para obtener 36, etc, al 8 le sumamos 1 para obtener 9, 0 17 para obtener 25, y así sucesivamente.
También partiendo de un cuadrado cualquiera como el 9: sumando 7 obtenemos 16, sumando 17 obtenemos 36, etc.
Yo he entendido esto del comentario de Ricardo:
Y lo que dice JJGJJG es que basta
para cualquier x. La verdad es que tampoco entiendo muy bien la propuesta.
Exacto Gob.
Pero como resolver esto sin «iterar». Es increíblemente difícil. No encuentro la solución.
Lo que dice JJBJJB es obvio, pero yo restrinjo la suma a sumar sólo impares consecutivos desde cualquier número impar, no necesariamente desde el primero, el uno.
Es decir: cuantos impares consecutivos hay que sumarle a un número para hacerlo cuadrado perfecto ?. A priori y son iterar no encuentro la solución.
En el comentario anterior he olvidado decir que no sabemos cual es el cuadrado perfecto al que vamos a llegar añadiendo impares, sino es obvio, sólo habría que despejar. Si a un número le empezamos a añadir impares consecutivos en algún momento esa suma se convertirá en cuadrado perfecto. Como saber a priori precisamente eso ?, cuantos impares habrá que añadir para cuadrar ese número.?
En el comentario anterior he olvidado decir que no sabemos cual es el cuadrado perfecto al que vamos a llegar añadiendo impares, sino es obvio, sólo habría que despejar. Si a un número le empezamos a añadir impares consecutivos en algún momento esa suma se convertirá en cuadrado perfecto. Como saber a priori precisamente eso ?, cuantos impares habrá que añadir para cuadrar ese número.?
Muchas gracias por vuestra atención
Ricardo, creo que, al fin, he entendido tu problema y, si es así, tengo la solución. El problema es: elegimos el número entero m y un impar cualquiera 2n+1. Se trata de sumar a m impares sucesivos desde 2n+1 hasta 2x-1 (obviamente x>n) de modo que obtengamos una suma cuadrado perfecto. Solución: La suma de todos los impares desde 1 hasta 2k-1 es precisamente k^2. Por lo tanto nuestra expresión m+2n+1+2n+3+…+2x-1 vale m+x^2-n^2. Llamemos y^2 al resultado de la suma. Tendremos m+x^2-n^2=y^2 o, lo que es lo mismo x^2-y^2=n^2-m. Podemos escribirlo así: (x+y).(x-y)=a.b (siempre podremos elegir (n^2-m).1) Haciendo ahora x+y=a,… Lee más »
Estimado JJGJJG, Lo primero es darte las gracias por tu pronta, cordial y eficaz respuesta. Me ha parecido muy interesante tu explicacion, pero tengo una duda. De donde obtienes (n) a priori, si solo sabemos (m). Como seria tu método por ejemplo para m=95 ?, y para m=5 ? Otra cuestión y si me permites darle ha este asunto una vuelta de turca más: Partendo de un (m) cualquiera y restringiendo sumar a ese (m), impares desde un impar en concreto (I), como lo hariamos ?. Por ejemplo si yo te digo que dado el m=5 y el impar 21,… Lee más »
Aclaremos, Ricardo. Cada m que elijamos se podrá cuadrar, en general, partiendo desde muchos impares distintos, por lo tanto elegimos cualquiera y, aplicando mi fórmula, encontramos sus posibles soluciones, si las hay para ese impar concreto. Elijo, como propones m=95, y voy a tratar de cuadrarlo empezando con el 5. Como 2n+1=5, n=2. La fórmula de la suma dice que m+x^2-n^2=y^2, luego escribo 95+x^2-4=y^2, o sea, y^2-x^2=91=91*1=13*7. Con 91*1 tendremos y+x=91 y-x=1 luego x=45 e y=46 luego 95+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83+85+87+89=2116=46^2 Como ves, calculados x e y sabes el número total de impares consecutivos a poner en la suma que son x-n, el… Lee más »
Fantástico !!!!. Ha sido extraordinaria tu explicación y realmente eficaz. De nuevo muchísimas gracias. He aprendido mucho con todo lo que me has explicado. De todas formas nos estamos basando en que conocemos o podemos calcular los factores de m y eso no es trivial en todos los casos. Sino conocemos los factores de m y no podemos calcularlos no podemos hacerlo tal y como planteas. Dado por ejemplo un número no primo con sólo dos factores no triviales, quiero decir dos mas aparte del 1 y el propio m, como por ejemplo el 95 que tiene como factores no… Lee más »
Partamos de la base de que un número o es primo o es compuesto. Si es primo equivale al producto de 1 por él mismo, luego conocemos las valores apropiados para resolver el problema. Si es compuesto SIEMPRE podemos factorizarlo, si no, no sabríamos que es compuesto. Por lo tanto siempre podremos utilizar mi algoritmo para resolver. Te propongo un caso nuevo: m=4 y 2n+1=19, es decir n=9. Tendremos, entonces n^2-m=9^2-4=77=77*1=11*7. Para x^2-y^2=77*1 tenemos x=39, y=38, número de impares x-n=30, último impar 2x-1=79, suma total y^2=38^2. Comprobando: 4+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79=1444=38^2. En el otro caso x^2-y=2=11*7, x=9, y=2, número de impares x-n=0, último… Lee más »
Ha salido un error al enviarlo. En la comprobación del caso 77*1 hay que continuar la serie de impares harta el 79 y la suma da 1444=38^2
Estoy de acuerdo contigo sobre que siempre podemos factorízar. Pero si te das cuenta este sistema podría servirnos precisamente para factorízar si encontramos el método de hacerlo sinlos factores claro esta. No se sí te das cuenta que la suma de los impares para cuadrar un número permite obtener los factores. Esto creo que podría ser una alternativa a la factorízacion tradicional y para números difíciles de factorízar podría suponer un cambio. Gracias a ti me he dado cuenta de la importancia de esto, hasta ahora no había caído en la cuenta. Si encontramos un método para saber cuantos impares… Lee más »
No acabo de entender tu razonamiento. Dices:»Si encontramos un método para saber cuantos impares hay que sumarle a un número para cuadrarlo sin depender de sus factores, tendremos sus factores». No entiendo cómo. Elegido un número tengo dos opciones: empezar a sumar impares desde el 1 o empezar por otro impar cualquiera. Si empiezo por el 1 me puedo llevar la sorpresa de que no acabe nunca. Sin ir más lejos, si al número 26 le empiezas a sumar impares desde el 1, no llegarás jamás a un cuadrado, aunque sumes infinitos impares consecutivos. Ahora me surge un nuevo problema:… Lee más »
Lo primero es reiterar mis gracias por tus aportaciones. Gracias de verdad. Lo segundo es comentarte un poco la idea, aunque evidentemente no esta madura. Factorízar un número par como el 26 que has comentado, carece de sentido por que ningún par entraña dificultad en sacar sus factores. Además los pares no estarían organizados así como muy bien has señalado. Pero con los impares si encontraríamos siempre una secuencia de impares que los cuadra. Volvamos al caso del 95 por ejemplo: sus factores son 1, 5, 19, 95. Sin contar los triviales sólo tiene dos. Así ocurre con muchos impares,… Lee más »
Creo que ya le hemos dado bastantes vueltas al asunto y voy a tratar de zanjar la cuestión. Queda demostrado que, si un número de puede cuadrar, resulta fácil hacerlo si conocemos sus factores primos. Si no los conocemos, el cuadrarlo sumando impares podría ayudar a obtener sus factores. Creo sinceramente que sería matar pulgas a cañonazos y además poco rentable ya que tenemos mecanismos eficaces de factorización y, como decía Ortega y Gasset «el esfuerzo estéril conduce a la melancolía». Te lo ilustraré con un ejemplo: Un programa descompone en factores el número 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000053 (largo ¿verdad?) exactamente en TRES… Lee más »
Ja, ja, ja… A mi ningún tipo de esfuerzo me produce melancolía. El esfuerzo es siempre satisfacción. Nunca se sabe a priori si un esfuerzo es estéril hasta que esforzándose se descubre. Explorar caminos siempre te ayuda a aprender y a encontrar nuevos caminos, como el que he encontrado estos días. De todas formas muchísimas gracias por «tu esfuerzo estéril», desde luego a mi no me lo ha parecido. A mi me ha servido de mucho y he aprendido muchas cosas. El que haya métodos para factorízar no implica que se investigue otro. Eso es conformarse y yo nunca me… Lee más »
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Soy un Ingeniero de 70 años, muy orgulloso de la actitud de los matemáticos en la búsqueda y cálculo de la verdad… pues siempre aparecen la humildad, la gratitud, el asombro y el respeto por la naturaleza, la magia, y la verdadera esencia del ser humano que no está en su Ego que defiende lo indefendible con la porfía y la soberbia… Este diálogo entre estos dos matemáticos me da una vez más una muestra de lo anterior. Aquí no hay una competencia por tener la verdad (como podría ser entre abogados en un juicio por ejemplo)… No, aquí hay… Lee más »
Bueno Miguel, no siempre ocurrió así en Matemáticas. Te lo podrían decir Tartaglia a quien Cardano le robo su resolución de las ecuaciones cúbicas. También Leibniz quien sufrió una gran humillación de su ídolo Isaac Newton. Etc.
En matemáticas como en otras disciplinas siempre ha habido, hay y habrá gente codiciosa. Sólo que en matemáticas las codicia pasa por ponerle tu nombre a un teorema por ejemplo.
i don’t think that’s interesting because we don’t understand anything of that…but it’s actually curious…that’s all…thanks