¿Qué relación puede existir entre los números de la sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas? ¿Qué nexos de unión puede haber entre los números que forman la secuencia que comienza con dos unos y para la que el resto de términos se obtiene sumando los dos anteriores y las ternas de números que cumplen que la suman de los cuadrados de los dos primeros es el cuadrado del tercero? ¿Se os ocurre alguna? Pues hoy vamos a ver una bastante interesante.

Antes de nada, vamos a ponerle símbolos matemáticos al asunto. Aunque los dos conceptos que vamos a relacionar en esta entrada son muy conocidos, no está de más recordarlos.

La sucesión de Fibonacci tiene la siguiente definición por recurrencia:

\begin{matrix} F_1=1 \\ F_2=1 \\ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}, \; \forall n \ge 1 \end{matrix}

Y una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos (x,y,z) tales que x^2+y^2=z^2.

Veamos esta relación tan interesante entre ellos:

Toma cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Los que sean, (x,y,z,w) por ejemplo. Ahora haz las siguientes operaciones:

1.- Multiplica los de los extremos, el más grande y el más pequeño, y llama a a ese producto: a=xw.

2.- Multiplica por dos el producto de los intermedios y llama b al resultado: b=2yz.

3.- Multiplica los que están en posición impar (el primero y el tercero) y por otro lado los que están en posición par (segundo y cuarto) y suma los resultados, llamando c a lo que queda: c=xz+yw.

Entonces, (a,b,c) es una terna pitagórica.

¿No os parece precioso?

¡¡Y además, la demostración es bien sencilla!! Vamos a verla:

Como (x,y,z,w) son cuatro números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, tenemos que x+y=z y que y+z=w. Entonces podemos expresarlos todos en función de y y z de la siguiente forma:

(z-y,y,z,y+z)

Veamos ahora qué serían a,b,c:

\begin{matrix} a=(z-y)(y+z)=zy+z^2-y^2-yz=z^2-y^2 \\ \\ b=2yz \\ \\ c=(z-y)z+y(y+z)=z^2-yz+y^2+yz=z^2+y^2 \end{matrix}

Es decir, nuestra terna de números (a,b,c) tendría la forma (z^2-y^2,2yz,z^2+y^2) para dos números y,z que lo único que cumplen es que son números de Fibonacci consecutivos y que al menos hay uno en la sucesión que es menor que ellos.

O lo que es lo mismo, nuestra terna (a,b,c) es una terna pitagórica. ¿En serio que esos números forman una terna pitagórica? Sí. Quien esté un poco vago puede mirar el enlace sobre ternas pitagóricas que dejo al final del post. Quien tenga «ganas de cuentas» puede realizar la comprobación de que la suma de los cuadrados de los dos primeros da el cuadrado del tercero:

\begin{matrix} (z^2-y^2)^2=z^4-2z^2y^2+y^4 \\ \\ (2yz)^2=4y^2z^2 \\ \\ \mbox{Sumamos: } z^4-2z^2y^2+y^4+4y^2z^2= z^4+2z^2y^2+y^4 \\ \\ \mbox{Ahora: } (z^2+y^2)^2=z^4+2z^2y^2+y^4 \end{matrix}

Maravilloso, ¿verdad? Un par de ejemplos:

1) Tomamos la terna (5,8,13,21). Tenemos que

\begin{matrix} a=5 \cdot 21=105 \\ b=2 \cdot 8 \cdot 13 = 208 \\ c=5 \cdot 13+8 \cdot 21=233 \end{matrix}

Y ahora:

\begin{matrix} 105^2+208^2 = 54289 \\ 233^2=54289 \end{matrix}

2) Otro ejemplo, con números algo más grandes. Tomamos los números (10946, 17711, 28657, 46368). Entonces

\begin{matrix} a=10946 \cdot 46368=507544128 \\ b=2 \cdot 17711 \cdot 28675 = 1015088254 \\ c=10946 \cdot 28657+17711 \cdot 46368=1134903170 \end{matrix}

y

\begin{matrix} 507544128^2+1015088254^2=1288005205276048900 \\ 1134903170^2=1288005205276048900 \end{matrix}

En realidad esta propiedad no es exclusiva de la sucesión de Fibonacci, sino, como se puede intuir, de cualquier sucesión que se construya como la propia sucesión de Fibonacci. Hasta existen generalizaciones para sucesiones cuyos términos se van obteniendo de los dos primeros con la expresión t_{n+2}=at_n+bt_{n+1}. Podéis ver estos y alguna cosa más en The Pythagonacci Family Reunion, de Dan Kalman (sí, el del teorema más maravilloso de las matemáticas) y Robert Mena, que es el artículo donde vi lo que os he contado hoy.

En Gaussianos ya hemos hablado de estos dos objetos matemáticos:

Cuarta aportación de Gaussianos a la Edición 3.14159265 del Carnaval de Matemáticas, que organizan en pimedios.

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