Suma de senos positiva

Publicado por ^DiAmOnD^ | 26 noviembre, 2012 | Juegos | 14 |

Hoy lunes damos comienzo a este nuevo período de siete días con el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sean $x_1,x_2,\ldots, x_n$ números reales tales que

$\sin(x_1)+\sin(x_2)+\ldots+\sin(x_n)\geq n\sin(\alpha)$

siendo $\alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]$ . Demostrar que

$\sin(x_1-\alpha)+\sin(x_2-\alpha)+\ldots+\sin(x_n-\alpha)\geq 0$

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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14 Comments

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René

26/11/2012 20:42

basta con considerar la sumatoria
$\sum _{ k=1 }^{ n }{ { e }^{ { x }_{ k }i } }$ tomar la parte imaginaria y lo demás es álgebra sencilla…

27/11/2012 00:55

En primer lugar, veamos por inducción, que
$\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2\leq n^2, \forall n\in\mathbb{N}$

Para $n=1$ , el resultado es obvio. Supongamos el resultado cierto para $m\in\mathbb{N}$ y veamos que también es cierto para $m+1$ .

Aplicando la hipótesis de inducción, se obtiene:

$\left(\sum_{k=1}^{m+1}\sin x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{m+1}\cos x_k\right)^2\leq m^2+1+2\sum_{k=1}^m\left(\cos x_k\cos x_{m+1}+\sin x_k\sin x_{m+1}\right)=$

$=m^2+1+2\sum_{k=1}^m\cos(x_k-x_{m+1})\leq m^2+1+2m=(m+1)^2$

Apoyándonos en este resultado se prueba, fácilmente, lo enunciado en el ejercicio:

De la hipótesis del ejercicio, se obtiene:

${\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\geq n^2\sin^2\alpha =n^2-n^2\cos^2\alpha\Longrightarrow n^2\cos^2\alpha\geq \left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2 }$

Como ${\displaystyle\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \cos\alpha\geq 0}$ y por tanto, tomando raíces cuadradas en la expresión anterior se obtiene:

$n\cos\alpha\geq\sum_{k=1}^n\cos x_k$

Finalmente, concluimos:

${\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin(x_k-\alpha)=\sum_{k=1}^n(\sin x_k\cos\alpha-\cos x_k\sin\alpha)=\cos\alpha\sum_{k=1}^n\sin x_k-\sin\alpha\sum_{k=1}^n\cos x_k\geq}$

${\displaystyle\geq ncos\alpha\sin\alpha-n\sin\alpha\cos\alpha=0}$

Responde

Ricardo

27/11/2012 01:53

No necesitas inducción para mostrar la primer desigualdad. La puedes mostrar usando Cauchy-Schwarz:
$\displaystyle\bigg(\sum_{k=1}^n \sin x_k\bigg)^2 + \bigg(\sum_{k=1}^n \cos x_k\bigg)^2 \le n \sum_{k=1}^n \sin^2 x_k + n\sum_{k=1}^n \cos^2 x_k$
$= \displaystyle n \sum_{k=1}^n \big( \sin^2 x_k + \cos^2 x_k) = n^2.$

Responde

27/11/2012 10:35

Ricardo, muchas gracias por la observación.

arepne

27/11/2012 20:24

Otro enfoque: ( ∑ sen xi ) / n ≥ sen a supone que habrá un angulo xm cuyo seno es la media de los sen xi tal que sen xm ≥ sen a y, por tanto, xm ≥ a para 0 ≤ xm ≤ π/2 Si todos los xi están comprendidos entre –π/2 y π/2 la media de los cosenos de los xi será ( ∑ cos xi ) / n = cos xm ≤ cos a Si algunos | xi | son mayores que π/2 sus cosenos serán negativos y ( ∑ cos xi ) / n ≤… Lee más »

Responde

29/11/2012 23:32

La desigualdad

${\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\cos x_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^n\sin x_k\right)^2\leq n^2}$

Además de por inducción, o aplicando Cauchy-Schwarz, también se puede obtener de esta otra:
Si $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n$ y $b_1\geq b_2\geq \cdots\geq b_n$ entonces $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)\leq n\sum_{k=1}^n a_kb_k$