Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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números reales tales que
![\alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Calpha%5Cin+%5B0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\alpha\in [0,\frac{\pi}{2}]")
. Demostrar que
basta con considerar la sumatoria
tomar la parte imaginaria y lo demás es álgebra sencilla…
En primer lugar, veamos por inducción, que
Para
, el resultado es obvio. Supongamos el resultado cierto para 
y veamos que también es cierto para 
.
Aplicando la hipótesis de inducción, se obtiene:
Apoyándonos en este resultado se prueba, fácilmente, lo enunciado en el ejercicio:
De la hipótesis del ejercicio, se obtiene:
Como![{\displaystyle\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \cos\alpha\geq 0}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%7B%5Cdisplaystyle%5Calpha%5Cin%5Cleft%5B0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%5D%2C%5C+%5Ccos%5Calpha%5Cgeq+0%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{\displaystyle\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \cos\alpha\geq 0}")
y por tanto, tomando raíces cuadradas en la expresión anterior se obtiene:
Finalmente, concluimos:
No necesitas inducción para mostrar la primer desigualdad. La puedes mostrar usando Cauchy-Schwarz:
Ricardo, muchas gracias por la observación.
Otro enfoque: ( ∑ sen xi ) / n ≥ sen a supone que habrá un angulo xm cuyo seno es la media de los sen xi tal que sen xm ≥ sen a y, por tanto, xm ≥ a para 0 ≤ xm ≤ π/2 Si todos los xi están comprendidos entre –π/2 y π/2 la media de los cosenos de los xi será ( ∑ cos xi ) / n = cos xm ≤ cos a Si algunos | xi | son mayores que π/2 sus cosenos serán negativos y ( ∑ cos xi ) / n ≤… Lee más »
La desigualdad
Además de por inducción, o aplicando Cauchy-Schwarz, también se puede obtener de esta otra:
y 
entonces 
Si
Esta desigualdad se puede probar a partir de
(ejercicio propuesto en la página 33 del libro »Análisis Matemático» de Tom M. Apostol 2ª edición).
¡Vaya, apreciados amigos!
Y yo que quería proponer con mi mayor ingenuidad algo tan básico como lo siguiente, a ver si el problema salía:
Por definición de seno de la diferencia de ángulos
Y pensar que sucede si
qué sucede! quise decir…
Si
, 
y no hay nada que demostrar.
No hay nada que demostrar porque es trivial o qué?
Por condición del problema![\alpha \in [0,\pi/2]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Calpha+%5Cin+%5B0%2C%5Cpi%2F2%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\alpha \in [0,\pi/2]")
Porque, si
y 
, entonces ambas desigualdades son la misma:
.
O sea es un caso particular trivial que se cumple, así se diría matemáticamente no?
Atte. un ingeniero aficionado a las matemáticas.
Lo que intentaba era maximixar el lado izquierdo de la primera desigualdad…
ojo! intentaba… no sé como maximizarla, o acotar, o minimizarla y buscarle una cota inferior, etc.