Encontrando la suma a partir del divisor

Publicado por ^DiAmOnD^ | 29 abril, 2008 | Juegos | 5 |

Os dejo aquí el problema de la semana:

Sea $a$ un número natural. Probar que existe otro número natural $b$ tal que para todo natural $n$ se verifica que:

$a$ divide a $1^n+2^n+3^n+ \ldots +b^n$ .

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

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Javier

29/04/2008 12:44

Si b=a^2 es evidente, puesto que el resto de k mod a, (k+a) mod a, (k+2a) mod a, …, k+(a(a-1)) mod a k={1, 2, …., a) es el mismo llamemoslo n y n*a mod a=0 para todo n.

Saludos

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Acid

29/04/2008 19:18

Sí, claro… Siempre existe un b=1 … y para todo n resulta que a divide a 1^n = 1

jejeje

No entendí el comentario de Javier…
Suma = 1^n +2^n +… +(a^2)^n =
= 1^n + … +a^(2*n)

no entiendo por qué «(Suma mod a) = 0»

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Javier

29/04/2008 20:59

$(k+na)^p$ = $(na)^p+{p \choose 1}{(na)}^{p-1}k+$ … ${p \choose {p-1}}nak^{p-1}+k^p$

Como $na\ mod\ a=0$ $\forall n \in \mathbb{N}$ y todos los terminos excepto $k^n$ tienen como factor comun $a$ , $(k+na)^p\ mod\ a$ y $k^p\ mod\ a$ coinciden.

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Damián

30/04/2008 01:39

Javier dio la idea, pero no la explicó muy bien, además de que hay inconsistencias en su notación. Trataré de reescribir su idea. Hay que recordar el binomio de Newton: Entonces tenemos que: (1) Sea Entonces, aplicando (1) inteligentemente, obtenemos las siguientes congruencias ciertas: $latex m \equiv (1 + 2a)^n + (2 + 2a)^n + \cdots + (a+2a)^n \pmod{a} \\ \vdots \\ m \equiv (1+(a-1)a)^n + (2+(a-1)a)^n + \cdots + (a+(a-1)a)^n$ Las anteriores son exactamente congruencias, y si sumamos sus lados derechos la suma es igual a Por lo tanto, si sumamos todas las congruencias, tenemos que Y eso implica… Lee más »

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