Aunque hace ya años que no forma parte del currículo, el algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada ha sido un elemento habitual en los últimos años de primaria y en los primeros de secundaria. Hoy vamos a ver un método para aproximar el valor de la raíz cuadrada de un entero positivo (aunque es válido para cualquier real positivo) que, posiblemente, no sea muy conocido por el público en general: hoy presentamos el método de Herón.

Antes de dar directamente la expresión del método de Herón (que, por cierto, es el Herón de la fórmula de Herón), vamos a explicar un poco la idea del mismo, esto es, de dónde sale esto, por decirlo de alguna forma.

Imaginemos que queremos calcular la raíz cuadrada de, por ejemplo, 753. Como el área de un cuadrado de lado L se calcula con L^2, podemos decir que el valor de \sqrt{753} es la medida del lado de un cuadrado de área 753.

Vamos a buscar una aproximación de esa raíz cuadrada de 753 un poco «a ojo». Como 30^2=900, vamos a tomar el valor 29 como aproximación de ella. Por tanto, el lado de ese supuesto cuadrado de área 753 sería 29. Calculemos otro lado, para confirmarlo (o no):

\cfrac{753}{29} \approx 25,97

Como los dos lados tienen valores distintos, en realidad no tenemos un cuadrado, sino un rectángulo de lados 29 y 25,97.

Tenemos, por tanto, que afinar un poco más con nuestra aproximación, y lo vamos a hacer tomando la media aritmética de esos dos valores como aproximación de la raíz cuadrada buscada:

\cfrac{29+25,97}{2}=\cfrac{54,97}{2}=27,485

Esto significa que estaríamos diciendo que \sqrt{753} \approx 27,485, lo cual no está del todo mal, ya que 27,485^2 \approx 755,43. Podríamos quedarnos aquí, pero la cosa quedaría un poco coja. ¿Por qué no seguir con la misma dinámica? Tomamos este 27,485 como supuesto lado del cuadrado y calculamos el otro lado:

\cfrac{753}{27,485} \approx 27,40

Sigue sin ser un cuadrado, pero vemos ahora que los lados del rectángulo, 27,485 y 27,40, están mucho más cerca entre sí que los que salieron en el paso anterior. Tomamos, de nuevo, la media aritmética de ellos como aproximación de la raíz cuadrada que buscamos:

\cfrac{27,485+27,40}{2}=\cfrac{54,885}{2} \approx 27,44

Podemos ver que este valor se aproxima mucho más a \sqrt{753} que el anterior, ya que 27,44^2 \approx 752,95. Esto se ve mucho mejor si calculamos el valor exacto de esta raíz cuadrada:

\sqrt{753}=27,440845468 \ldots

Vamos, que en dos pasos del método hemos conseguido una aproximación del valor real de \sqrt{753} con dos decimales exactos. Evidentemente, si la aproximación que tomamos inicialmente es más cercana al valor real, si tomamos más decimales en cada paso y si realizamos más pasos del método, llegaremos a una mucho mejor aproximación de la raíz cuadrada que se busca.

Descrito el método a través de este ejemplo, ya podemos escribirlo de forma un poco más matemática:

Método de Herón: Si queremos calcular el valor de \sqrt{K} (con K \in \mathbb{R}^+), tomamos x_0 > 0 como una aproximación suya y calculamos los valores de la siguiente sucesión definida por recurrencia:

\left \{\begin{array}{l} x_0 \\ \\ x_{n+1}=\cfrac{1}{2} \, \left (x_n+\cfrac{K}{x_n} \right ), \ \forall n \geq 0 \end{array} \right.

Veamos otro ejemplo con un número más grande: K=34211. Tomamos, por ejemplo, el valor 200 como aproximación de \sqrt{34211}, ya que 200^2=40000 (esto es, x_0=200). Sí, está lejos de nuestro número, pero vamos a ver que en nada tenemos una muy buena aproximación de su raíz cuadrada.:

  • Con x_0=200, tenemos que \cfrac{34211}{200}=171,055. La media de esos dos números, que será x_1, es:

    x_1=\cfrac{200+171,055}{2}=185,5275

    Si calculamos su cuadrado, vemos que x_1^2 =34420,45326, por lo que no está nada mal como aproximación (sobre todo, habiendo comenzado con el valor 200).

  • Realicemos otro paso. Como x_1=185,5275, tenemos que \cfrac{34211}{185,5275}=184,3985393. La media aritmética de ellos, que será x_2, es:

    x_1=\cfrac{185,5275+184,3985393}{2}=184,9630197

    Calculando su cuadrado, vemos que x_2^2=34211,31864, por lo que x_2=184,9630197 es una magnífica aproximación de \sqrt{34211}.

En sólo dos pasos, hemos conseguido una aproximación buenísima, y además comenzando con un número cuyo cuadrado estaba bastante alejado de nuestro número inicial.

En definitiva, tenemos un método iterativo mediante el cual nos acercamos cada vez más al valor de \sqrt{K} conforme realizamos iteraciones del mismo. Y, además, sabemos de dónde sale, por qué funciona. ¿Qué más queremos? Vale, sí, en la práctica pierde utilidad, ya que casi siempre tendremos un dispositivo que nos ayudará a calcular la raíz cuadrada buscada con bastante precisión. Ahora, matemáticamente hablando a mí me parece un método magnífico. Espero que a vosotros también os guste.

Vamos ahora con la parte más matemática del tema. ¿Cómo podemos demostrar que este método iterativo de verdad nos lleva a la raíz cuadrada de nuestro número K inicial? Vamos a verlo.

Es conocido el resultado que dice que toda sucesión monótona y acotada es convergente. En nuestro caso, vamos a demostrar que x_n es monótona decreciente y que está acotada inferiormente. Comencemos viendo que x_{n+1} \geq \sqrt{K}:

\begin{matrix} x_{n+1} \geq \sqrt{K} \Longleftrightarrow \cfrac{1}{2} \, \left ( x_n+\cfrac{K}{x_n} \right ) \geq \sqrt{K} \Longleftrightarrow x_n+\cfrac{K}{x_n} \geq 2 \sqrt{K} \Longleftrightarrow \\ \\ \Longleftrightarrow x_n^2+K \geq 2x_n \, \sqrt{K} \Longleftrightarrow x_n^2-2x_n \, \sqrt{K}+K \geq 0 \Longleftrightarrow (x_n-\sqrt{K})^2 \geq 0 \end{matrix}

Como la última desigualdad es cierta, yendo hacia atrás llegamos a que, efectivamente, x_{n+1} \geq \sqrt{K} (en particular, tenemos también que x_n > 0). Por tanto, nuestra sucesión está acotada inferiormente.

Por otro lado, veamos ahora que la sucesión es decreciente:

\begin{matrix}x_n \geq x_{n+1} \Longleftrightarrow x_n \geq \cfrac{1}{2} \, \left ( x_n+\cfrac{K}{x_n} \right ) \Longleftrightarrow 2x_n \geq x_n+\cfrac{K}{x_n} \Longleftrightarrow \\ \\ \Longleftrightarrow x_n \geq \cfrac{K}{x_n} \Longleftrightarrow x_n^2 \geq K \Longleftrightarrow x_n \geq \sqrt{K} \end{matrix}

donde la última doble implicación es cierta al ser x_n > 0. Como la última desigualdad es cierta (la hemos demostrado anteriormente), yendo de nuevo hacia atrás tenemos que nuestra sucesión es decreciente.

Con esto, tenemos que \mathbf{x_n} es monótona decreciente y está acotada inferiormente, por lo que seguro que es convergente. Es decir, nuestra sucesión tiene límite, y vamos a calcularlo ahora.

Suponiendo que dicho límite es L, tomamos límites en la expresión recurrente de la sucesión, quedando así:

x_{n+1}=\cfrac{1}{2} \, \left (x_n+\cfrac{K}{x_n} \right ) \Longrightarrow L=\cfrac{1}{2} \, \left (L+\cfrac{K}{L} \right )

Ahora, para despejar L tenemos que realizar, básicamente, las mismas operaciones que en la demostración de que la sucesión es decreciente, por lo que es sencillo llegar a

L=\sqrt{K}

que es el resultado buscado.

¿Conocéis algún método para aproximar valores de raíces cuadradas (o cualquier otro número) que merezca la pena mencionar? Si es así, podéis hablarnos de él en los comentarios.

Por cierto, la idea de escribir esta entrada me vino tras ver que Microsiervos hablaba de este método y después de que José Manuel hablara sobre él en el grupo de Telegram Retos Matemáticos.

La imagen principal ha sido generada por IA con la herramienta Stable Doddle.

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