Introducción

La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Construcción de la banda de Möbius

Topológicamente hablando la banda de Möbius es un espacio topológico cociente. ¿Qué es eso? Pues más o menos es el resultado de aplicar una relación de equivalencia…

INCISO: Una relación de equivalencia es una forma de identificar elementos de un conjunto (cumpliendo ciertas propiedades), es decir, de agrupar los elementos de un conjunto en distintos subconjuntos (denominados clases de equivalencia) tal que en cada subconjunto cada par de elementos cumple la propiedad definida por la relación. Recomiendo este post de El Cedazo en el que se explica el tema con más detenimiento.

…sobre un conjunto (en este caso sobre un espacio topológico, pero no nos hace falta saber exactamente qué es eso). En este caso concreto el conjunto es el cuadrado \left [ 0,1 \right ] \times \left [ 0,1 \right ] y la relación de equivalencia es la siguiente:

(x,y) \; R \; (x^\prime,y^\prime) \Leftrightarrow \begin{cases} (x,y)=(x^\prime,y^\prime) \\ \left \lbrace x,x^\prime \right \rbrace =\left \lbrace 0,1 \right \rbrace, y^\prime=1-y \end{cases}

Esta relación hace lo siguiente:

– Identifica los puntos del interior del cuadrado (los que no están en ningún borde) y los de los bordes superior e inferior consigo mismos, vamos, que los deja igual que están.

– Identifica los puntos del borde izquierdo con los del borde derecho de la siguiente forma: cada punto de la forma (0,m) se identifica con el punto (1,1-m). Por ejemplo, el (0,\textstyle{\frac{1}{3}}) se identifica con el (1,\textstyle{\frac{2}{3}}). En la figura de la derecha se puede ver esta forma de identificar estos puntos atendiendo al sentido de las flechas.

Para construir la banda de Möbius con Mathematica podemos utilizar el siguiente código:

a[s_]:={Cos[s],Sin[s],0};v={0,0,1};
X[t_,s_]:=(2t Cos[s/2]+1-Cos[s/2]) a[s]+(2t-1) Sin[s/2] v;
ParametricPlot3D[Evaluate[X[t,s]],{t,0.3,.7},{s,0,2 Pi},PlotPoints->30,Axes->False,Boxed->False]

quedando la siguiente figura:

¿Podemos construir esta superficie en la vida real? Sí, y además de forma muy sencilla:

Tomamos una tira de papel (en la definición hablamos de un cuadrado, pero vale cualquier rectángulo), la sujetamos por los extremos de forma que veamos una de sus caras, giramos uno de los extremos hasta que por ese lado veamos la cara que antes no veíamos y a continuación unimos los dos bordes que tenemos en las manos.

Algo así:

En la entrada del edificio de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada se puede contemplar una banda de Möbius colgada en una pared:

Y también pueden construirse con LEGO.

Y tan interesante es esta superficie que un gran divulgador como Clifford Pickover ha escrito un libro exclusivamente dedicado a ella, La banda de Möbius, que yo poseo y cuya portada es ésta:

Todavía no lo he leído, pero promete. Si alguien lo tiene y lo ha leído ya que nos cuente algo sobre él.

Propiedades

Como hemos dicho antes, la figura resultante es muy curiosa, tiene una forma algo extraña a primera vista. Como se ha comentado anteriormente, tiene una única cara y un único borde. ¿Cómo podemos comprobar eso? De forma muy sencilla:

Ponemos un dedo en un punto que no esté en el borde de la banda y lo deslizamos a lo largo de la misma. Vemos que así podemos llegar a cualquier otro punto. El caso del borde es el mismo: desde un punto del borde podemos llegar a cualquier otro punto situado también en él.

Un caso contrario a éste, por ejemplo, sería un cilindro hueco de altura h. Tiene claramente dos bordes, el de arriba y el de abajo en la figura. Pero además tiene dos caras: la de dentro y la de fuera.

Curiosidades

La banda de Möbius es una superficie que da mucho juego a la hora de manipularla. Lo que vamos a ver ahora puede servir para que sorprendáis a vuestros amigos en algún momento propicio para este tipo de juegos:

  1. Dibujemos con bolígrafo una línea en el centro de la banda y recortemos con unas tijeras por la misma. ¿Qué obtenemos?

  2. Dibujemos dos líneas que dividan la banda en tres partes iguales y recortemos por una de ellas. ¿Qué obtenemos? ¿Y si cortamos despues por la otra línea?

  3. Dibujemos ahora tres líneas que dividan a la banda en cuatro partes iguales y cortemos por cada una de ellas. ¿Qué obtenemos en cada caso?

Aplicaciones

Bueno, y ahora la pregunta del millón: ¿vale la banda de Möbius para algo en la vida real? Estoy seguro de que muchos de vosotros habéis respondido instantáneamente: NO. Pues estáis equivocados. Bueno, seamos serios, tampoco es que la banda de Möbius sea lo más útil que ha existido en toda la historia, pero alguna aplicación tiene. La que yo veo más clara es la siguiente:

Imaginaos la cadena de una bicicleta, o una correa de distribución, o cualquier cadena que realice un cierto recorrido. Imaginaos que la colocamos de forma, digamos, cilíndrica. ¿Qué ocurriría? Pues que siempre se desgastaría por el mismo sitio, ya que siempre rozaría en los apoyos por la misma cara. La colocamos ahora como una banda de Möbius. Así se desgasta por igual por toda su cara, es decir, conseguimos que el desgaste sea igual en todos los puntos del borde, obteniendo así una mayor duración y por tanto un ahorro.

Si conocéis alguna otra aplicación interesante no tenéis más que comentarla.

Algunos enlaces interesantes sobre el tema:

Hace más de tres años de que Gaussianos cambió de cara y, entre otras cosas, comenzamos a usar logo y favicon cuyo principal motivo es la banda de Möbius. Por ello era casi una obligación dedicarle un artículo a este curioso objeto matemático. Hoy es el día.

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