Sabéis que hay ciertos temas que nos gustan mucho en este blog, y las demostraciones de irracionalidad de ciertos números es uno de ellos. Hoy os traigo una «nueva» demostración de la irracionalidad de raíz de dos. Y no digo «nueva» porque sea de hace poco (se publicó en 1975), sino porque es para mí para quien es nueva. Espero que también lo sea para vosotros.

Vamos directamente al tema:

Teorema: \sqrt{2} es un número irracional.

Demostración:
Partiendo de que 1 < 2 < 4 y sabiendo que la raíz cuadrada es una función creciente, tenemos que \sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}. Es decir:

1 < \sqrt{2} < 2

Esto es, \sqrt{2} pertenece al intervalo (1,2). Por tanto, el número \sqrt{2}-1 pertenece al intervalo (0,1).

Como suele ser habitual, vamos a utilizar reducción al absurdo. Con el objetivo de llegar a una contradicción, supongamos que \sqrt{2} es un número racional. Entonces, \sqrt{2}-1 también es un número racional, digamos \frac{a}{b} (fracción irreducible), que pertenece al intervalo (0,1). En particular, b es el mínimo posible (por ser una fracción irreducible) y a es menor que b (ya que la fracción está entre 0 y 1).

Tomemos ahora la fracción \frac{b}{a} y trabajemos con ella:

\cfrac{b}{a}=\cfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\cfrac{(\sqrt{2}+1) \cdot 1}{(\sqrt{2}+1) \cdot (\sqrt{2}-1)}=\cfrac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1

Por otro lado, está claro que \sqrt{2}+1=\frac{a}{b}+2. Por tanto, tenemos que:

\cfrac{b}{a}=\cfrac{a}{b}+2

Despejamos \frac{a}{b} y operamos:

\cfrac{a}{b}=\cfrac{b}{a}-2=\cfrac{b-2a}{a}

Analizando esto último, tenemos que \frac{a}{b}, que era irreducible, es igual a otra fracción, \frac{b-2a}{a}, cuyo denominador, a, es menor que el suyo, b, lo cual es imposible.

Aquí tenemos la contradicción buscada, que partió de la suposición de que \sqrt{2} era un número racional. Por tanto, se tiene que \mathbf{\sqrt{2}} es un número irracional.

Esta demostración proviene de este short del canal de Youtube de Michael Penn, y la conocí porque Pedro Sempere nos pasó el enlace en el grupo de Telegram Retos Matemáticos. En dicho vídeo, Penn dice que esta demostración se debe al matemático alemán Theodor Estermann, pero la única demostración de la irracionalidad de \sqrt{2} que he visto atribuida a Estermann es la que se puede ver en este enlace, que reproduzco a continuación:

Aunque la idea inicial es básicamente la misma, no me parecen la misma demostración, aunque posiblemente esté equivocado. A ver si alguien puede aclararlo en los comentarios.

Y, ya que estamos, creo que solamente queda preguntaros si conocéis alguna otra demostración curiosa y/o interesante de este hecho o de algún otro relacionado. Los comentarios, como siempre, están a vuestra disposición.

Otras demostraciones de irracionalidad publicadas en Gaussianos:

La imagen principal ha sido generada por IA con la herramienta Stable Doddle.

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