Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Nos lo envió Alexsander a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Ahí va:
Encuentra la terna
de enteros positivos que satisface la ecuación
Lo interesante no es dar la terna de números sin más (que no es difícil de encontrar simplemente probando números), sino dar un razonamiento que nos lleve a encontrarla.
Que se os dé bien.
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La ecuación dada es equivalente a El teorema fundamental de la aritmética nos permite asegurar entonces la existencia de tales que El discrimante de la ecuación cuadrática anterior es . Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que . Ergo, el problema se ha reducido a determinar todos los números tales que para algún . Pues que entonces De esto se sigue que para algún . Se tiene entonces que Puesto que la solución fundamental de la ecuación de Pell es , tiene que ser igual a . Así, y . De esto se sigue… Lee más »
Elegantísima solución, JHS.
No entiendo este paso:
Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que a=1.
Gracias
El discriminante es el argumento de la raíz cuadrada en la fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado. Como ésta se aplica a ecuación con enteros, su valor debe ser entero, o sea, la raíz cuadrada de un cuadrado.
Yo lo que no entiendo es lo de la ecuación de Pell.
Porque entiende la solución fundamental en función de la expresión de recurrencia para encontrar otras soluciones:
Si tenemos la ecuación de Pell
y 
es un par que es solución fundamental de dicha ecuación, entonces podemos encontrar más pares solución con la fórmula:
y, alternativamente:
La solución fundamental de
es (2,1), solución que no nos sirve ya que en nuestro caso 
; la siguiente solución, usando lo anterior es, (7, 4) que sí nos sirve.
Si entiendo que tiene que ser un cuadrado perfecto, pero porque no puede ser un cuadrado perfecto, por ejemplo con a=2 o a 3?
A ver, la clave es la expresión
4·3·(3^(a-1)·7^b -1), que debe ser un cuadrado perfecto. Todos los factores de ese número deben aparecer un número par de veces. El 2 aparece como 2^2, tenemos el tres una vez sólo pero que multiplica al paréntesis. Por tanto, la expresión entre paréntesis es seguro que tiene un factor tres (multiplica a otro factor que, primo o no, que está dos veces, n)
O sea 3^(a-1)·7^b – 1 = 3·n^2, que es lo que concluye J.H.S.
(sigue).
3^c·7^b con c = 0 es evidentemente múltiplo de 3. Pero cualquier número múltiplo de tres menos uno tiene resto dos al dividirlo por tres. La ecuación que he escrito dice lo contrario, que 3^(a-1)·7^b – 1 es múltiplo de tres (la expresión nos dicen que vale 3·n^2) por tanto 3^(a-1) no puede ser múltiplo de 3, cosa que sólo es posible si el exponente es nulo, es decir, a – 1 = 0.
Debería poner «con c != 0». Si no, no tiene ningún sentido lo escrito.
Yo soy el que mandó el problema a Gaussianos. Pero fíjense que yo soy un principiante en las Matemáticas (aunque me gustan mucho), y pues la verdad se me dificulta entender la solución, hecha por J.H.S. Agradecería a J.H.S u otro que pueda, que enviara a mi correo, que es floresalexander989@gmail.com, una solución bien detallada, explicando cada paso que hace y la justificación bien detallada de cada declaración que hace. Por ejemplo: no entiendo cómo es que la declaración de que x^2 + 2x + (4 – 3^a * 7^b) = 0 se deduce del el Teorema Fundamental de la… Lee más »
A ver, alexander, el teorema fundamental de la Aritmética nos dice que todo número entero se expresa de forma única como producto de sus factores primos. Esto lo podemos usar en tu problema: Pasamos el 8 a la banda izquierda y factorizamos, quedándonos , es decir, hemos puesto el número de la derecha en forma de factores primos a la izquierda; en concreto, podemos decir que el polinomio de segundo grado que hemos obtenido divide a la expresión de la derecha (obviamos el factor x-2 porque con x=2 no se satisface la ecuación del problema): luego , , . Sobre… Lee más »
Tengo estas dudas: 1. No entiendo por qué se obvia el factor (x – 2), que es un divisor de (x^2 + 2x + 4). 2. Por qué para que (x^2 + 2x + 4) sea divisor de 3^y * 7^z, (x^2 + 2x + 4) deber ser 3^a * 7^b 3. No me quedó claro por qué (7^b – 1) tiene que ser 3*(s^2) 4. Por qué el 7^(b – 1) + 7^(b – 2) + … + 1 debe tener un factor 2 para que 2*(7^(b – 1) + 7^(b – 2) + … + 1) sea un… Lee más »
-Para el caso 1: Supongo que sabes que, si a·b|n entonces a|n y b|n. Es decir, La divisibilidad la han de cumplir esos dos factores. En nuesto caso, nuestro primer factor a=(x-2) divide, pues, a n=3^y·7^z, es decir x-2 es de la forma 3^a·7^b para 0<=a,b<=x,y. Por ejemplo, x puede ser 5, 11,…,2+3^a, a natural; puede ser 9, 51,…,2+7^a, o puede ser 23, 443,…,2 +3^a·7^b, a, b naturales. Pero esto, ya lo vemos, no nos acota los valores de x ni puede servir para encontrar, por tanto, una solución exacta: nos quedamos igual, teniendo que tantear. Habrá entonces que estudiar… Lee más »
Por orden, en las «fórmula does not parse» tiene que poner:
brillante muchachos… Sois muy buenos
Los problemillas así son muy fáciles, y por eso, triviales. Sólo hay que razonar aplicando bien las definiciones, axiomas, postulados y teoremas. En éste, los conocimientos que se requieren son los de la Aritmética básica: Divisibilidad, el Teorema Fundametal de la Aritmética, números primos, cuadrados perfectos, múltiplos de , suma de números impares, múltiplos de … todo es sencillo. Donde está lo verdaderamente interesante y lindo, es en las demostraciones de los teoremas, las propiedades, sumergirse en lo más profundo del mar de las matemáticas, e ir explorando cada vez más cosas y más maravillosas, llegar al corazón de las… Lee más »
En este problema hay dos pasos no triviales que requieren de cierta «idea feliz» (no muy rebuscada como en otros problemas más difíciles de una Olimpiada): la factorización de (7^b)-1 y analizar los exponentes de la expansión en suma del factor que no es 6 sabiendo que ha de ser un cuadrado y par. Una vez resuelto «parece» trivial, pero realizando el ejercicio ves que sí has de buscar ciertas combinaciones y «darte cuenta», es decir, sacar cierto músculo. Y también te digo una cosa, incluso sin necesidad de mucho aparejo teórico un problema puede ser complicado, un poco de… Lee más »