Vamos con un ejercicio relacionado con números complejos:
Sean
y
Calcular el valor de A a mano, es decir, sin calculadoras, programas informáticos ni similares.
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A=2
Que bueno! No se como lo hizo Tito Eliatron y puede que ponga alguna barbaridad en el desarrollo, pero yo utilizaría la identidad de Euler (que maravilla de fórmula). http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler
e^(i·pi) + 1 =0 por lo que e^(i·pi) = -1
Entonces e^[(2·pi·i)/11]=(-1)^(2/11) que sería la raíz11((-1)^2)=1
En todos los casos 1^k=1, bueno tal vez no para 1^infinito 😉 z^9=1, z^100=1…
Por lo que me da 11·1= 11
Me extraña que de igualmente 1 sean cuales sean los exponentes, habrá algún error en lo que he puesto. Lo de la barbaridad va por lo que pueda haber puesto yo, no vaya alguien a pensar que va por Tito( esto de que coincidan la 1ª y 3ª pers, ponga yo, ponga él…);). Y a la espera de sus respuestas como dijo en cierta ocasión el matemático Benjamin Peirce a sus alumnos refiriéndose a la identidad de Euler: «Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado… Lee más »
Tito Eliatron no es 2. De todas formas, ¿qué has hecho para llegar a eso?
Sable tienes que calcular el valor de A.
Si tienes el valor de z como z=1 A=11
Ya, pero es que z no es 1, es exactamente lo que pone en el post.
De acuerdo (te creo pero no lo comprendo), lo que no alcanzo a ver es donde está el error del comentario 2. Según la identidad de Euler e^(pi·i)=-1, si introducimos esto dentro de z=e^[(2·pi·i)/11] nos queda z=(-1)^(2/11)=1
Pues yo opino como Sable.
¿Es A=11, o no?
¡Yaaaa! ¿Puede ser A=0 ?
Efectivamente A= 11
Por la formula de Euler e**(i*pi)-1=0 en la que relaciona los 5 numeros mas usados en matematicas. Genial Euler.
Tiene dos soluciones: 2 y 0.
A=1+2*(cos(2pi/11)+cos(6pi/11)+cos(8pi/11)+cos(10pi/11)+cos(18pi/11))
+2*i*(sen(2pi/11)+sen(6pi/11)+sen(8pi/11)+sen(10pi/11)+sen(18pi/11))
donde i=sqrt(-1)
Ahora… el chorizo que queda como se simplifica?
e^((2*PI*i)/11) NO ES 1.
es cierto que e^(2*PI+i) es uno, pero lo otro NO.
😀
En mi primer intento básicamente usé el método «MHT», es decir, ME HE TANGADO.
Ahora creo que sí:
Paratamos de que z^11=Exp[22Pi i/11]=Exp[2Pi i]=1
z^16 = z^11·z^5 = z^5
z^25 = z^22·z^3 = z^3
z^36 = z^33·z^3 = z^3
z^49 = z^44·z^5 = z^5
z^64 = z^55·z^9 = z^9
z^81 = z^77·z^4 = z^4
z^100 = z^99·z = z
Por tanto A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8) y hasta ahí podemos leer
a mí me gusta más la solución «3», donde las potencias pares son igual a 1 y las impares a -1, haciéndolo de cabeza. aunque no estoy seguro de que sobre el papel no me liara al intentar demostrarlo.
El fallo del comentario dos es el siguiente:
Efectivamente queda (-1)^(2/11). De ahí: ((-1)^2)^(1/11)=1^(1/11). Pero eso en números complejos no es solamente 1. Al hacer raíz 11 del número complejo 1 salen 11 resultados. Espero haberme explicado.
Por otra parte, no, el resultado no es ni 0, ni 2 ni 11.
Paco no te metas con senos y cosenos que complicas más la cosa :P.
Tito en este comentario va por el buen camino. Seguid por ahí y llegaréis a la solución.
Ya está entendido, no había reparado en eso. Gracias ^DiAmOnD^
Seguiremos intentándolo 😉
A=1+z+z^4+z^9+z^16+z^25+z^36+z^49+z^64+z^81+z^100
zA= z+z^2+z^5+z^10+z^17+z^26+z^37+z^50+z^65+z^82+z^100
(1-z)A=1+z^2+z^4+z^6+z^8+z^10+z^12+z^14+z^16+z^18-z^101
= (z^18*z^2-1)/(z^2-1) – z^2 =(z^20-1)/(z^2-1)-z^2
Pero como z^20=z^{-2}=1/z^2
(1-z)A=(1/z^2 – 1)/(z^2-1)-z^2 = -1/z^2-z^2 = -(z^4+1)/z^2
Luego
A=-(z^4+1)/[z^2(1-z)]=(z^4+1)/[z^2(z-1)]
Tito Eliatron. Me parece que cuando restas las dos primereras igualdades cometes un error.
z^4 – z^2 entre otros no es igual a z^2
Lo demás no alcanzo a comprenderlo.
tienes más razón que Gauss
Siguiendo un post de Tito Eliatron: A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8) Poniendolo por separado: A = 1 + 2z + 2z^3 + 2z^4 + 2z^5 + 2z^9 S = A – 2z^9 + 1 + 2z^2 = = 2(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5) Usando la formula para calcular el sumatorio: S = 2(1 – z^6)/(1 – z) Volviendo a A: A = S – 1 – 2z^2 + 2z^9 = = 2(1 – z^6 -1 + z)/(1 – z) – 2z^2 + 2z^9 = = 2(z – z^6)/(1 – z) – 2z^2 + 2z^9 = = 2(1 –… Lee más »
Mi idea es la siguiente : Partiendo de lo que Finolis ha dicho precedentemente, es decir, que A=1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9) , deducimos que 1/2*(A-1) = z+z^3+z^4+z^5+z^9 (1) , y poniendo 2iPI/11= B, (1) es equivanente a 1/2*(A-1)= cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B)+i(sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B)) , y el problema se reduce entonces a calcular Re(1/2*(A-1))=cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B) e Im(1/2*(A-1))=sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B) en funcion de sin(B) y cos(B) para deducir de ello el valor de 1/2*(A-1) y por lo tanto el de A ; el problema es entonces desarrollar cos(3B), cos(5B), cos(9B),…. ya que con las formulas de duplicacion podemos encontrar el valor de , por ejemplo, cos(4B) en funcion del de cos(B) y… Lee más »
(postdata: cuando hacia referencia a finolis en realidad me referia a Tito Eliatron ; lo siento )
hola, llevo mucho tiempo leyendo éste blog y me parece de los mas interesantes de por aquí cerca… jejje
bueno, no se,yo aporto una idea distinta… igual a mas de uno se le ha ocurrido pero le da vergüenza ponerla….
si nos fijamos A=SUM(z^(2n))de 0 a 100 si no me equivoco(que puede que muy facilmente) corresponde a la serie geométrica SUM(a*r^n) si r
vaya! empiezo bien, joer con el menor! pues eso que si es menor que 1 pues el sumatorio se puede aproximar por 1/1-r….mmmm cambiamos r por z quitamos los ultimos términos del sumatorio…. aplicamos alguna porpiedad como la de euler…… sacamos el Matlab y ya está ¡resuelto! jejejejje… espero que la base valga para algo…el resto.. para el club de la comedia……
espero no estorbar mucho, gracias
cachis!!!! esto pasa por escribir sin pensar…. pues va a ser que z² no va ser menor que 1 me da a mi… pues nada…. as eguir rayandose.. pero poco…..
De tito:A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8)=
1+2(z+z^3+z^4+z^5+z^9)=1+2(z+z^3+z^5+z^7+z^9) y esto ya es mas conocido , los calculos mas axcesibles.
ups me falto algo:a=1+2(z+z^3+z^5+z^7+z^9-2iSen(14pi/11))
discipulodegauss, porque has añadido el último término?
por que si A+B=2*pi —>senA=-senB
Por ahí se ven cosas que van bien. Os falta una idea feliz y después atar cabos. A ver a quién se le ocurre.
Va a haber que implementar algún sistema del tipo MathML para los comentarios, que lío!!
A estas horas de la madrugada no sé si pienso bien, pero creo que z=z^n, siendo n cualquier número natural.
Me explico:
z=e^((2PIi)^(1/11))
z^n=e^((2nPIi)^(1/11))
Por tanto, como e^(2PIi)=e^(2nPIi), tenemos que z=z^n
Ahora, tomando 1 como z^0, tenemos que:
A=11z, pero ya me he quedado atascado.
@ [b]LUIS JAVIER [/b] : Ten cuidado, (e^(iB))^n = e^(iBn) unicamente si n es un entero NATURAL ( Formula de Moivre ); en tu caso es una fracción, por lo que no funciona ; de hecho, haciendo como haces tu , se puede llegar a demostrar que todos los reales son igual a 1 [ el link es este : http://bacamaths.net/punbb/t7619-Impossible%21%21%21.html (es un post mio en un foro francés ). En cuanto al problema en cuestion, sabiendo que 1/2*(A-1) = z+z^3+z^4+z^5+z^9 , se me ha ocurrido ver eso asi : 1/2(A-1) = (z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9)- (z^2)-(z^6+z^7+z^8) , pero aplicando la conocida formula… Lee más »
No se si se ve claro donde cometes el error: TU afirmas que > UNO : si con ello afirmas que z= e^( L ) donde L=(2iPI)^(1/11) [ es lo que pone ], entonces estas elevando e a la raiz 11-ava de 2iPI ( y que hay por lo tanto 11 valores posibles tal y cono dijo ^DiamonD^ ( existe 11 numeros complejos de modulo uno tal que su argumento( tomado en el intervalo [-PI;PI[ )multiplicado poir 11 sea un multiplo de 2PI , de donde salen las 11 raices onceavas de un nº complejo DOS : si con ello… Lee más »
joder , ha salido mal el post, habia coasa que he puesto entre comillas de estas que no ha salido : En mi 1º linea, lo que digo que el afirma es «z=e^((2PIi)^(1/11))»
En la frase que empieza por «DOS «, lo que digo que quizas elk querioa afirmar es » z= (e^(2iPI) )^ ( 1/11)
Lo siento por el error y por alejarme un poco del tema pero creo que estas cosas hay que tenerlas claras; un saludo
CREO QUE LO TENGO PArtamos de 1/2*(A-1)= cos(B)+cos(3B)+cos(4B)+cos(5B)+cos(9B)+i(sin(B)+sin(3B)+sin(4B)+sin(5B)+sin(9B)) , y pongamos f(n)= cos(nB)+isin(nB) = (cos(B)+isin(B))^n ( formula de moivre ) Gracias a ello podemos expresar cos(3B), sin(3B), cos(4B), sin(4B), … en funcion de cos(B) y sin(B) Ejemplo: f(3)= cos(3B)+isin(3B) = (cosB+isinB)^3 = (cosB)^3-i(sinB)^3+3(cosB)^2*isinB -3cosB*(sin(B)^2) es decir , cos(3B)+isin(3B) =(cosB)^3-i(sinB)^3+3(cosB)^2*isinB -3cosB*(sin(B)^2) ; igualando parte real e imaginaria, tenemos: PARtE REAL: cos(3B)= (cos(B))^3-3cos(B)*(sin(B))^2 Parte Imaginaria: sin(3B)=-(sin(B))^3+(3cos(B))^2*sin(B) Haciendo lo mismo con f(4), f(5), f(9), conseguimos exprimir 1/2(A-1) gracias unicamente a cos(B) y sin(B), de donde deducimos el valor de A. (Nota : no lo voy a detallar porque todavia me quedan examenes y… Lee más »
Hay por ahi un resultado bastante simplificado: A = 2 – 2z^2 – 2z^5 + 2z^9 Agrupando terminos: A = 2[ 1 – z^2 – (z^5 – z^9) ] = 2[ z^-1*z^1 + z^1*z^1 – z^5*(1 – z^4) ] = 2[ z^-1*z – z*z -z^5*(z^-2*z^2 – z^2*z^2)] = = 2[ z*(z – z^-1) – z^5*z^2*(z^2 – z^-2)] = = 2[ z*(z – z^-1) – z^7*(z^2 – z^-2)] Sabiendo que z = e^(i*2Pi/n) = cos(2Pi/n) + i*sen(2Pi/n) con n = 11. Entonces z^m = e^(i*2Pi*m/n) = cos(2Pi*m/n) + i*sen(2Pi*m/n). Conjugando z^m, es decir (z^m)* = z^-m = e^-(i*2Pi*m/n) = cos(2Pi*m/n) –… Lee más »
¿Hay alguna relación conocida entre lado y diagonales de un endecágono?
En un endecagono regular, lado/(2*diagonal=sin(PI/11) En realidad, en un poligono regular de N lados, lado/(2*diagonal)=sin(PI/N) [ para verlo divide un poligono regular de N lados en N triangulos de vertices el centro del poligono y dos vertices contiguos, y luego en uno de estos triangulos, considera el punto medio de la base constituida por el lado del antiguo poligono de N lados, y te queda asi un triangulo de angulos PI/2, 2PI/2N=pi/N y un tercer angulo, y los lados del triangulo son la diagolal del poligono ( es la hipotenusa), una apotema y la mitad de un lado ; de… Lee más »
Sólo pongo mi solución (¡No se escribir sumatorios, potencias, etc en este recuadro!)
A = 11 ((1)^(1/11))
Pedvi cierto, habría que implementar algo para los posts y para los comentarios para que se puedan escribir mejor las fórmulas matemáticas. Yo lo intenté con un plugin de wordpress, latexrender, pero en mi servidor parece que no podía usarse. Si alguien sabe alguna otra forma y me la puede explicar que me mande un mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Lo agradeceré mucho. Respecto al tema: estáis haciendo muchísimas más cuentas de las necesarias. Tito llegó en este comentario a A=1+2z(1+z^2+z^3+z^4+z^8). Aconsejo que sigáis desde ahí. Ya dije en un comentario que hace falta una idea feliz. En… Lee más »
Gracias Wallace, sabía que tenía que estar mal, no podía ser tan fácil, pero no encontraba dónde estaba el error. Ahora ya lo entiendo.
Yo tengo la mitad resuelta. Tenemos:
A=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9
Y hallamos la parte real:
Re{A}=(A+A*)/2=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9+1+2z*+2z^3*+2z^4*+2z^5*+2z^9*,
resulta que z*=z^10, z^3*=z^8, z^4*=z^7, z^5*=z^6 y z^9*=z^2,
sustituyendo tenemos
Re{A}=2+2z+2z^2+…+2z^9+2z^10=0
para la parte imaginaria aún no he visto la simplificación pero estoy trabajando en ello…
Vale creo que ya:
Im{A}=(A-A*)/2=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9-1-2z*-2z^3*-2z^4*-2z^5*-2z^9*
y ahora tenemos que Im{-z*}=Im{z^10}, Im{-z^3*}=Im{z^8}, Im{-z^4*}=Im{z^7}, Im{-z^5*}=Im{z^6} y Im{-z^9*}=Im{z^2}.
y considerando que Im{a+b}=Im{a}+Im{b} tenemos:
Im{A}=2{z+z^2+z^3+…+z^9+z^10}=2*{-1}=-2
¿es correcto?, porque tengo mis dudas
Bueno vale, falta juntar las dos
A=-2i
Xavi, en mi opinión para calcular la parte real te has complicado demasiado y te has comido un 1.
Si A=1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9
Re{A}=Re{1+2z+2z^3+2z^4+2z^5+2z^9}+ =
=Re{1}+ Re{2z}+ Re{2z^3}+ Re{2z^4}+ Re{2z^5}+ Re{2z^9}= Re{1}+ 2·Re{z}+ 2·Re{z^3}+ 2·Re{z^4}+ 2·Re{z^5}+ 2·Re{z^9} =
=1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =1
En mi opinión no te has equivocado con los conjugados sino que al final, con las sumas y se te ha olvidado dividir por 2.
¿Cómo se ponen caras de vergüenza absoluta con emoticonos? He confundido módulos con parte real de un número complejo.
Que nadie me haga caso en lo que he dicho en el comentario anterior!!!!
lo siento.
Sería conveniente incluso borrarlo para no liar al personal….
amitbien me da 11… nose! siempre pienso q las cosas tienen truco… jaja
[[(e^iPi)^2]^1/11].. eso es [(-1)^2]^1/11… que es la raiz onceava de 1 que es 1… uno elevado a lo que sea
=1…A=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=11
Eso creo… saludos
ah vaya… acabo de leer lo de arriba… tipico error lo de raiz onceava de uno = uno… y 10 soluciones mas.. jaja seguiremos pensando