Un problema con números combinatorios

Publicado por ^DiAmOnD^ | 26 diciembre, 2011 | Juegos | 4 |

Vamos con el problemita de esta semana:

Sean $a,b,c$ números naturales tales que $0\leq a\leq b+c$ . Hallar el valor de la suma

$\displaystyle{\sum_{i=\max\{0,a-c\}}^{\min\{a,b\}} {b \choose i} \cdot {c \choose a-i}}$

Recuerdo que $\displaystyle{{n \choose k}}$ es el número combinatorio n sobre k y se define como:

$\displaystyle{{n \choose k}= \cfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}}$

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Bitacoras.com

26/12/2011 13:26

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problemita de esta semana: Sean números naturales tales que . Hallar el valor de la suma Recuerdo que es el número combinatorio n sobre k y se define como: Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hac……

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aguilui

26/12/2011 21:00

¿ $\displaystyle{{b+c \choose a}}?$

Responde

Sergiopasc

27/12/2011 00:12

Yo creo que la solución de Aguilui es correcta, basta con aplicar la fórmula de Vandermonde para números combinatorios.
Os dejo el link: http://mathworld.wolfram.com/Chu-VandermondeIdentity.html

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29/12/2011 19:26

Concuerdo con aguilui. Dado que $(1+x)^b(1+x)^c=(1+x)^{b+c}$ , basta comparar los coeficientes de $x^a$ ( $0\leq a\leq b+c$ ) en cada miembro de la igualdad.

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uhuhu

29/12/2011 21:47

Conicido con Aguilui. Tomamos un conjunto con $b+c$ elementos. El número de elecciones de $a$ elementos de este conjunto es $\binom{b+c}{a}$ . Ahora dividámoslo en dos conjuntos, con $b$ y $c$ elementos. De cada elección del conjunto inicial, llamemos $i$ el número de elementos elegidos que forman parte de esos $b$ elementos; el resto de $a-i$ estarán entre los $c$ restantes. Por cada una de las $\binom{b}{i}$ maneras de elegir esos $i$ elementos, habrán $\binom{c}{a-i}$ maneras de elegir los restantes. Multiplicando y sumando nos queda la fórmula del enunciado.