Hoy, como todos los martes, os presento el problema de la semana:
En el mundo de las circunferencias tenemos grupos de tres circunferencias que se quieren tanto que desean estar pegadas y grupos de tres circunferencias que se aprecian bastante menos. Este caso es el de las tres circunferencias de esta historia.
En principio las tres circunferencias (de distintos tamaños) no se llevaban demasiado bien, digamos que estaban enfadadas. Por eso su colocación era como en la figura siguiente:
Es decir, no se superponían ni completamente ni en parte. No querían ni verse.
Pero por suerte estas situaciones no duran toda la vida. Poco a poco nuestras protagonistas limaron asperezas y consiguieron llegar a una relación de amistad. Querían acercarse más, todo lo posible…pero por desgracia su situación era inamovible. No podían desplazarse.
¿Qué hicieron? Muy sencillo. Pidieron que alguien las uniera trazando las tangentes comunes a cada dos de ellas. Aunque no era la solución más satisfactoria para ellas, al menos podrían sentirse más unidas. Y así fue como las tres circunferencias pasaron de ni siquiera mirarse a mantener una gran amistad.
Pero una historia tan bonita tenía que tener algo más, alguna característica que la hiciera aún más emotiva. Y, cómo no, la hay. Al trazar las tangentes se dieron cuenta de que los tres puntos de intersección entre ellas estaban situados en la misma recta.
Qué casualidad, ¿no?
¡Pues no! Por haber sido capaces de arreglar sus problemas se les permitió moverse ¡y se vio que los tres puntos de intersección son siempre colineales!
¡Qué bello final!
¿Quién nos demuestra por qué ocurre esto?
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Una explicación posible surge del hecho de que la composición de homotecias (de distinto centro) vuelve a ser una homotecia.
Consideremos las circunferencias
con radio 
, 
, 
. Como asumimos que los radios son distintos, las tangentes exteriores a 
se cortan en un punto 
, 
. Así pues, la circunferencia 
se obtiene de 
por la homotecia 
centrada en el punto 
y razón 
. Del mismo modo, 
se obtiene de 
por la homotecia 
. Ahora bien, la composición de estas dos homotecias es precisamente la homotecia 
, y en consecuencia los tres centros deben estar alineados.
muy, muy buena, sí señor 🙂
M, estás hecho un crack :).
La solución que yo conozco pasar por subir un escalón, esto es, pasar a tres dimensiones.
A ver si a alguien se le ocurre algo.
«la composición de estas dos homotecias es precisamente la homotecia [H3], y en consecuencia los tres centros deben estar alineados.»
¿¿En consecuencia?? ¿¿¿Pero qué me he perdido por enmedio???
:-((
Maestrillo, ciertamente mi comentario fue muy esquemático ya que sólo pretendía dar la idea y dejar los detalles. Tu comentario refleja una de las tres cosas que no había probado: 1) «La composición de homotecias de distinto centro y radios no inversos vuelve a ser una homotecia cuyo radio es el producto de los radios de las homotecias originales.» Esta es una propiedad conocida que, aunque no es difícil de probar, es algo molesta de escribir pues requiere liarse un poco con semejanza de triángulos y usar el Teorema de Desargues para probar que el centro de la composición de… Lee más »
Maestrillo, a M le ha faltado un detalle: la composicion de homotecias (de distinto centro) es una homotecia con centro alineado con los anteriores. De todas formas es un poco «trampa» usar el teorema de clasificacion de afinidades en el plano (que creo que se debe a Euler) para resolver un problema de geometria sintetica. Yo conozco una demostracion sintetica (en el plano) usando semejanza de triangulos y el teorema de Menelao. ^DiAmOnD^ supongo que lo de «pasar a tres dimensiones» es una forma disfrazada de usar geometria proyectiva, no? Como curiosidad, el resultado es cierto en algo mas de… Lee más »
Ups. Te me adelantaste, M 😛
Estoy muy de acuerdo, vengoroso, en que es bastante tramposo usar las homotecias en este problema, ya que parece equivalente el enunciado del problema a probar que la composición de homotecias es otra homotecia. De hecho, puede que la prueba que conoces para este problema sea análoga o bastante similar a la que se hace para las homotecias.
La prueba es muy sencilla: se toma el triangulo formado por los centros de las circunferencias, los puntos de interseccion de las tangentes estan en las prolongaciones de los lados, asi que la condicion de colinearidad viene dada por la igualdad del teorema de Menelao (Desargues es una version mas fuerte de este). Esta igualdad se prueba facilmente usando semejanza. La idea es asi de simple, las cuentas un latazo de escribir, sobre todo por ordenador 😛
Basándonos en el último comentario de vengoroso al respecto de considerar los centros de las circunferencia podemos dar una prueba completa sin necesidad de hacer ningún cálculo engorroso. Ahí va: Sean los tres centros de las circunferencias y tomemos el triángulo que definen. De las seis tangentes exteriores a las circunferencias, consideremos ahora las tres que no cortan a este triángulo. Estas tangentes se cortan dos a dos en . Vemos que las rectas , , son las bisectrices del triángulo de vértices , y por tanto concurren (en su incentro). Según el Teorema de Desargues obtenemos directamente que las… Lee más »
la construcción del teorema en GeoGebra:
http://www.delibros.org/_box/elsjuliols/elsjuliols_exercici.html
llevad la construcción hasta el último paso (tecla >>|) y moved el centro de cualquiera de las cirmcumferencias
un saludo y enhorabuena por vuestro trabajo
El teorema del post se atribuye a d’Alembert. Y curiosamente en el mismo sitio también lo llaman teorema de Monge. El único motivo de la atribución a d’Alembert parece que es la siguiente frase de Fuss de 1799, en Nova Acta Ac. Sci. Imp. Petroplitanae, tomo XIV (1805): «Hace ya varios años que un joven francés. empleado entonces en el Cuerpo Imperial de Cadetes de Tierra, me habló de un teorema de geometría que, en el tiempo en que estaba aún en Paris en la Escuela Real militar, tuvo alguna celebridad y que se pretendía que había provenido de Mr.… Lee más »
fede, yo tengo entendido que el teorema es de Monge.
sergi, ¡qué buena la construcción!
Diamond, yo también. Y está demostrado en la «Geometría Descriptiva» de Monge. Por eso me sorprendió la atribución a d’Alembert en algún sitio.
Poncelet en el «Traité….», nro 269, dice «esta propiedad, debida a Monge,..».
En cambio Chasles en el «Aperçu…», pag 293, dice «esta bella propiedad del círculo, que Fuss atribuye a d’Alembert,..». Pero esto no es exacto, porque lo que Fuss dice es que le dijeron que se decía que se atribuía a d’Alembert…
Mi conclusión es que es de Monge, hasta donde podemos saber.
cuantas rectas tangentes se pueden trazar a las tres circunferencias de la figura?
a) dos
b)una
c)cuatro
d)seis
e) ninguna de las anteriores
Vamos a ayudar a las tres circunferencias a acercarse lo más posible sin mover sus centros.
Unamos los centros y obtendremos un triángulo.
Hallemos el incentro del triángulo dibujando la bisectrices interiores de dicho triángulo.
Proyectemos el incentro sobre cada uno de los lados y marquemos los pies de las perpendiculares.
Modifiquemos sus radios para que pasen por los puntos marcados en los lados adyacentes a cada vértice.
Observemos que hemos conseguido que cada una de ellas «bese» a las otras dos cumpliendo sus deseos de estar pegadas.
Es interesante el caso en donde dos de las circunferencias tienen el mismo tamaño.
Si una circunferencia no está en el espacio limitado por las otras dos y sus tangentes exteriores, se pueden considerar como las intersecciones de tres esferas con el plano que pasa por sus centros. Todas las tangentes exteriores a un par de circunferencias conforman una superficie cónica. Un plano en el que se apoyen las tres esferas también será tangente a los tres conos. Pero esto podemos hacerlo a los dos lados del plano diametral de las esferas, tendremos dos planos tangentes a las tres esferas, simétricos respecto al plano diametral. Los vértices de los tres conos están en la… Lee más »