De unos a unos

Publicado por ^DiAmOnD^ | 9 junio, 2009 | Juegos | 12 |

El problema de la semana va de números formados únicamente por unos, los llamados repunit (por Gaussianos ya ha aparecido algún repunit, por ejemplo aquí). Vamos con él:

Sabiendo que un repunit es un número natural tal que sus dígitos en base 10 son todos unos, encontrar todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales tales que si $n$ es un repunit también lo es $f(n)$ .

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Bitacoras.com

09/06/2009 08:01

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema de la semana va de números formados únicamente por unos, los llamados repunit (por Gaussianos ya ha aparecido algún repunit, por ejemplo aquí). Vamos con él: Sabiendo que un repunit es un número natural tal qu…

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Alberto Cid

09/06/2009 15:14

Conjeturo que los únicos polinomios que lo cumplen son:

fm(x) = 10^m * x + repunit de m cifras (m=0,1,2…)
(ej: x, 10*x+1, 100*x+11, …)

y también

f(x) = 1

Aunque no se me ocurre ahora cómo demostrar que no hay más soluciones…

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09/06/2009 17:53

Hay más. Entre los constantes no solo tenemos $f(x)=1$ , sino también cualquier $f(x)=rep[m]$ , $m\geq 1$ . También tenemos por ejemplo $f(x)=9x^2+2x$ , $f(x)=90x^2+20x+1$ o $f(x)=81x^3+27x^2+3x$ .

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Maestrillo

09/06/2009 20:10

Me parece mal decirlo, pero el Google es una tentación irresistible. He encontrado la solución por ahí y, sinceramente, me marea.

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epi

09/06/2009 21:49

Basta tener en cuenta que el repunit de $m$ unos es $rep[m]:=(10^m-1)/9$ , y así $9\cdot rep[m]+1=10^m$ . Por tanto, si quiero enviar el $rep[m]$ al $rep[n]$ , con $n\geq m$ , basta considerar que

$(10^r(9rep[m]+1)^s-1)/9=rep[m\cdot s+r]$

y solo tendremos que ajustar los enteros $r,s$ .

En definitiva los polinomios pedidos son $p_{r,s}(x)=\cfrac{10^r(9x+1)^s-1}{9}$ , con $s\geq 0$ y $r\geq 1$ .

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Alberto Cid

09/06/2009 22:55

O_O

Fui muy atrevido, jajaja

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gaussianos

10/06/2009 02:30

Enohrabuena epi, solución correcta :).

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epi

10/06/2009 18:13

Realmente la solución no estaba completa. Acabo de darme cuenta de que he dejado en el tintero otras soluciones con coeficientes fraccionarios (por ejemplo, ). La omisión viene de asumir que íbamos a emparejar con un con , y claro que podemos considerar . Para ello solo hay que considerar que se debe tener ; es decir, que obtenemos los polinomios de arriba, pero con y . Por otro lado, faltaba probar que no hay más polinomios aparte de los indicados. Supongamos un polinomio de grado que aplica cualquier repunit en otro repunit. En particular, tomando suficientemente grande, dado que… Lee más »

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Mägo

10/06/2009 23:16

Tambien $f(x)= x$ cumple que si $x$ es un repunit $f(x)$ tambien lo es.
De igual forma se puede definir una función $f:R\rightarrow Z$ como sigue
$f(x)= [abs(x)](10^{n+1} + 1)$ en donde $10^{n+1}$ es la menor potencia de $10$ mayor que la maxima potencia de $10$ que aparece en la expasión decimal de $x$ , y $[|x|]$ indica que primero obtenemos $abs(x)$ y despues buscamos el mayor entero menor igual que $abs(x)$
Por ejemplo se tiene que $f(-11.37) = 1111$

No se si mi notacion sea la correcta , por favor haganme saber si he cometido algun error.

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epi

10/06/2009 23:49

Mägo, $f(x)=x=p_{0,1}(x)$ ya había aparecido. El otro ejemplo que has puesto no es un polinomio, aunque lleva por definición el $rep[n]$ en el $rep[2n]$ , y consigues el mismo efecto que con el polinomio $p_{0,2}(x)=x(9x+2)$ , que en definitiva es la versión polinomial de tu ejemplo (ya que $9x+1$ es potencia de diez).