El problema de la semana va de números formados únicamente por unos, los llamados repunit (por Gaussianos ya ha aparecido algún repunit, por ejemplo aquí). Vamos con él:
Sabiendo que un repunit es un número natural tal que sus dígitos en base 10 son todos unos, encontrar todos los polinomios
con coeficientes reales tales que si
es un repunit también lo es
.
A por él.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Conjeturo que los únicos polinomios que lo cumplen son:
fm(x) = 10^m * x + repunit de m cifras (m=0,1,2…)
(ej: x, 10*x+1, 100*x+11, …)
y también
f(x) = 1
Aunque no se me ocurre ahora cómo demostrar que no hay más soluciones…
Hay más. Entre los constantes no solo tenemos
, sino también cualquier ![f(x)=rep[m]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3Drep%5Bm%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "f(x)=rep[m]")
, 
. También tenemos por ejemplo 
, 
o 
.
Me parece mal decirlo, pero el Google es una tentación irresistible. He encontrado la solución por ahí y, sinceramente, me marea.
Basta tener en cuenta que el repunit de
unos es ![rep[m]:=(10^m-1)/9](https://s0.wp.com/latex.php?latex=rep%5Bm%5D%3A%3D%2810%5Em-1%29%2F9&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "rep[m]:=(10^m-1)/9")
, y así ![9\cdot rep[m]+1=10^m](https://s0.wp.com/latex.php?latex=9%5Ccdot+rep%5Bm%5D%2B1%3D10%5Em&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "9\cdot rep[m]+1=10^m")
. Por tanto, si quiero enviar el ![rep[m]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=rep%5Bm%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "rep[m]")
al ![rep[n]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=rep%5Bn%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "rep[n]")
, con 
, basta considerar que
y solo tendremos que ajustar los enteros
.
En definitiva los polinomios pedidos son
, con 
y 
.
O_O
Fui muy atrevido, jajaja
Enohrabuena epi, solución correcta :).
Realmente la solución no estaba completa. Acabo de darme cuenta de que he dejado en el tintero otras soluciones con coeficientes fraccionarios (por ejemplo, ). La omisión viene de asumir que íbamos a emparejar con un con , y claro que podemos considerar . Para ello solo hay que considerar que se debe tener ; es decir, que obtenemos los polinomios de arriba, pero con y . Por otro lado, faltaba probar que no hay más polinomios aparte de los indicados. Supongamos un polinomio de grado que aplica cualquier repunit en otro repunit. En particular, tomando suficientemente grande, dado que… Lee más »
Tambien
cumple que si 
es un repunit 
tambien lo es.
como sigue
](https://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D+%5Babs%28x%29%5D%2810%5E%7Bn%2B1%7D+%2B+1%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "f(x)= [abs(x)](10^{n+1} + 1)")
en donde 
es la menor potencia de 
mayor que la maxima potencia de 
que aparece en la expasión decimal de 
, y ![[|x|]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%7Cx%7C%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[|x|]")
indica que primero obtenemos 
y despues buscamos el mayor entero menor igual que 
De igual forma se puede definir una función
Por ejemplo se tiene que
No se si mi notacion sea la correcta , por favor haganme saber si he cometido algun error.
Mägo,
ya había aparecido. El otro ejemplo que has puesto no es un polinomio, aunque lleva por definición el ![rep[n]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=rep%5Bn%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "rep[n]")
en el ![rep[2n]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=rep%5B2n%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "rep[2n]")
, y consigues el mismo efecto que con el polinomio 
, que en definitiva es la versión polinomial de tu ejemplo (ya que 
es potencia de diez).
Oh! cierto, no me percate de que
tenía que ser un polinomio, perdon.
La proxima vez tendre mas cuidado cuando lea el enunciado del problema.
Gracias epi.
Tengo una duda, hay repunits negativos?
Perdon por el comentario anterior, si es repunit es natural, perdon, prometo ya no hacer comentarios «ilustres».