Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?

Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.

Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?

Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.

Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.

Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?

Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.

Derivada de una integral I: El TFC

Isaac BarrowEl resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser algo así:

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f(x),

  1. La función F(x)=\displaystyle{\int_a^x f(t) \; dt} es continua.
  2. Si además f(x) es una función continua, entonces F(x) es derivable, y:

    F^\prime (x)=\left ( \displaystyle{\int_a^x f(t) \; dt} \right )^\prime= f(x)

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función f(x) continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia f(x).

El enunciado del TFC2 es algo así:

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si f(x) es una función continua y G(x) es una función tal que G^\prime (x)=f(x), entonces:

\displaystyle{\int_a^b f(x) \; dx = G(b)-G(a)}

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos G(x) (lo que se denomina una primitiva de f(x)) y restamos los valores de G en los extremos del intervalo.

Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.

Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función F(x), definida mediante una integral:

F(x)=\displaystyle{\int_{x^2}^{x^2-x} e^{-t^3} \; dt}

La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular F^\prime (x) necesitamos algo más. Este algo más es una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones). Ahí va:

Generalización del TFC1

Si la función F(x) está definida mediante la siguiente integral

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \; dt}

entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma:

F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \; dt} \right )^\prime= f(h(x)) \cdot h^\prime (x)-f(g(x)) \cdot g^\prime (x)

Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior:

F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{x^2}^{x^2-x} e^{-t^3} \; dt} \right)^\prime=e^{-(x^2-x)^3} \cdot (2x-1)-e^{-(x^2)^3} \cdot 2x

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde aparezca dicha función, etc.

Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

Gottfried Wilhelm LeibnizVamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función F(x) definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende x? Es decir, si nuestra F(x) tiene esta forma:

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt}

donde la función f depende de x (que es la variable de F) además de depender de t, ¿cómo calculamos su derivada?

Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Fórmula de Leibniz, que nos dice cómo calcular dicha derivada. Ahí va:

Fórmula de Leibniz

Dada la función

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt}

podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

\begin{matrix} F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt} \right )^\prime = \\ \displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} \cfrac{\partial f}{\partial x} \; dt} + f(h(x),x) \cdot h^\prime (x)-f(g(x),x) \cdot g^\prime (x) \end{matrix}

Como podéis ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de f respecto de x.

Con esta fórmula podemos, por ejemplo, hacer este ejercicio que aparece en una relación de ejercicios de uno de los grupos de alumnos que he tenido este curso:

Dado el problema de valores iniciales siguiente:

\begin{cases} y» +a^2 y=f(x) \\ y(0)=y' (0)=0 \end{cases}

comprobar que la función

F(x)=\displaystyle{\frac{1}{a} \int_0^x f(t) \cdot sen \; (a(x-t)) \; dt}

es solución del mismo.

Pero esto os lo dejo como ejercicio. Intentadlo, que es sencillo.

Espero que os haya quedado claro el tema y que este post os sirva de ayuda cuando necesitéis realizar esta operación.

La imagen de Barrow la he tomado de aquí y la de Leibniz de aquí.

Por cierto, este artículo ha llegado a portada en Menéame. Gracias a todos los que lo habéis meneado.

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