A la mayoría de los que hemos cursado estudios en los que aparece la campana de Gauss nos han dicho que para calcular la integral entre dicha curva y el eje X, es decir, el área bajo la campana hasta el eje X, debemos usar cálculo en dos variables. Vamos, que no podemos encontrar cuánto vale ese área utilizando solamente cálculo en una variable. Bien, pues eso no es cierto: se puede calcular el ára bajo la campana de Gauss usando simplemente cálculo en una variable.

Antes de nada conviente recordar que al hablar de campana de Gauss nos referimos a la gráfica de la función

f(x)=a \cdot e^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}

con a,b,c números reales. Por comodidad tomaremos la función para a=1, b=0 y c=1/\sqrt{2}, es decir, f(x)=e^{-x^2}.

Nuestro objetivo es confirmar que el valor de la integral es el siguiente:

\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

La primera idea podría ser calcularla como integral impropia que es, para lo cual necesitaríamos una primitiva de f(x), pero dicha primitiva no puede expresarse mediante combinaciones de funciones elementales en el sentido de este post, por lo que tenemos que descartar esta opción. La segunda posibilidad es la que ya hemos comentado, calcularla «subiendo» al cálculo en dos variables como se hizo aquí. Pero hoy nosotros no queremos salirnos del cálculo en una variable, por lo que descartamos también dicha opción.

Vamos a ver cómo podríamos hacer lo que estamos buscando.

Vamos a definir la siguiente función:

F(x)=\displaystyle{\left ( \int_0^x e^{-t^2} dt \right )^2+ \int_0^1 \cfrac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} dt}

La idea es calcular la derivada de dicha función F(x) respecto de x. Para ello hará falta utilizar el «Teorema Fundamental del Cálculo»+»regla de la cadena» y la fórmula de Leibniz. Podéis encontrar una explicación de estos dos temas en Calcular la derivada de una integral.

Voy a calcular la derivada de cada término por separado, para que la cosa no se haga tan pesada, y después sumaré los resultados:

  • Derivada del primer sumando

    Aquí hace falta TFC+»regla de la cadena»:

    2 \cdot \displaystyle{\int_0^x e^{-t^2} dt \cdot e^{-x^2}}

  • Derivada del segundo sumando

    Aquí necesitamos la fórmula de Leibniz:

    \displaystyle{\int_0^1 -2x(1+t^2) \cdot \cfrac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} dt +0-0=\int_0^1 -2x \cdot e^{-x^2(1+t^2)} dt}

Realizando en el segundo resultado el cambio de variable t=u/x, obtenemos que este segundo término tiene esta forma:

\displaystyle{\int_0^x -2x \cdot e^{-x^2(1+(u/x)^2)} \cdot \cfrac{1}{x} \; du=\int_0^x -2 \cdot e^{-x^2-u^2} du}

Introduciendo el término e^{-x^2} en el primer término (es independiente de t) llegamos a que las derivadas de cada uno de los sumandos dan el mismo resultado pero con signos distintos, esto es, una es «menos la otra», por lo que la suma de ellas es nula. Es decir, F^\prime (x)=0.

Esto significa que la función F(x) es constante, por lo que si calculamos el valor de la misma en un punto entonces tendremos el valor de la función en todo su dominio. Vamos a hacer esto para x=0:

F(0)=\displaystyle{\int_0^1 \cfrac{1}{1+t^2} dt=arctg(t) \Bigg ]_0^1=\cfrac{\pi}{4}}

Por lo que F(x)=\cfrac{\pi}{4}, \; \forall x > 0, valor que también alcanzara si calculamos su límite cuando x tiende a infinito. Pero, por la propia definición de F(x), este límite es precisamente el cuadrado de la integral de la función de Gauss. Entonces:

\displaystyle{\left ( \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt \right )^2=\cfrac{\pi}{4} \Rightarrow \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt =\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

que es el resultado que conocemos de dicha integral.

He encontrado esto en la revista matemática de la Universidad Autónoma de Madrid La Hoja Volante nº 22 (pdf), de septiembre de 2011 (cuyo encargado era Carlos Vinuesa) y está escrito por Fernando Chamizo, que a su vez lo sacó del libro Análisis Matemático, de T. Apostol.

Esta entrada es mi tercera aportación a la Edición 3,14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión nuestro José Manuel López Nicolás desde su blog Scientia.

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