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Introducción

La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.

Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.

El método de la tangente

Lo que estudió exactamente Fermat fue el cálculo de los máximos y mínimos de curvas polinómicas (y=p(x), con p(x) un polinomio) a través del análisis de los puntos donde la recta tangente a dicha curva es paralela al eje de abscisas, es decir, horizontal. En un tratado titulado Methodus ad disquirendam maximan et minimam (que, evidentemente, no publicó en vida), Fermat expliacaba en qué consiste el método de la tangente:

Partimos de una curva polinómica y=p(x). Supongamos que en el punto x=a la curva tiene un extremo (máximo o mínimo), digamos b=f(a). Fermat sustituye x por a+h (os suena, ¿verdad?), donde h es una variable auxiliar. Como p(x) es un polinomio podemos desarrollar p(a+h), obteniendo así lo siguiente:

p(a+h)=p(a)+h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a)

donde A(a), \ldots Q(a) son ciertas expresiones dependientes de a.

Ahora las cantidades p(a) y p(a+h) se hacen adiguales, algo así como tan próximas como sea posible (¿a qué suena eso?). Simbolizando adigualar con el símbolo (=), obtenemos lo siguiente:

p(a) (=) p(a) + h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a)

Cancelando p(a) llegamos a:

h \cdot A(a) + \ldots + h^n \cdot Q(a) (=) 0

Sacando h factor común obtenemos que h=0 es una solución de dicha ecuación.

Y aquí viene la idea clave del razonamiento de Fermat: en un extremo, la paralela al eje de abscisas corta a la curva con multiplicidad dos. Como en un extremo la paralela al eje de abscisas es la tangente a la curva en dicho punto, entonces la tangente corta a la curva en un extremo con multiplicidad dos. ¿Por qué?

Si x=a es un extremo, entonces para puntos cercanos al punto a la paralela al eje de abscisas corta a la curva en dos puntos. Si nos acercamos al punto a, al llegar a él esos dos puntos de corte se confunden en uno. Es decir, tenemos una solución (el punto de corte) que aparece dos veces, o sea, con multiplicidad dos.

¿Qué significa esto? Pues que h=0 debe ser una solución doble de la ecuación anterior. Para que esto pase debe ser A(a)=0 (para poder volver a sacar factor común h). Lo interesante es observar ahora que A(a) es exactamente f^\prime (a).

Vamos a ver un ejemplo de la aplicación de este método. Este ejercicio es el que utilizó el propio Fermat para explicar su método:

Dividir un segmento de longitud b en dos partes de forma que el producto de las longitudes de las mismas sea máximo

Si el segmento tiene longitud b, una de las partes tendrá longitud x y la otra longitud b-x. El problema trata de hacer máximo el producto de esas dos cantidades, es decir, de calcular el máximo de la siguiente función:

f(x)=x(b-x)

Según el método sustituimos x por x+h. Queda:

f(x+h)=(x+h)(b-x-h)

Ahora adigualamos:

x(b-x) (=) (x+h)(b-x-h)

Al operar obtenemos

xb-x^2 (=) xb -x^2-xh+hb-hx-h^2

de donde eliminando los términos comunes llegamos a:

h(b-2x)-h^2 (=)0

Simplificando una h queda:

b-2x-h (=)0

Y ahora, como h=0 debe ser solución al menos doble (básicamente, esto es hacer límite cuando h \to 0) obligatoriamente debe ocurrir que b-2x=0. De donde obtenemos el extremo:

x=\cfrac{b}{2}

que precisamente el punto donde la función inicial tiene su máximo.

Consideraciones finales

Aunque el desarrollo más profundo sí que pertenece a Newton y Leibniz, el hecho de que Fermat iniciara este desarrollo con su Método de la tangente debería suponer que su nombre apareciera junto a los de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz como responsables del descubrimiento del Cálculo. De hecho no sólo merece dicho reconocimiento por este método, ya que no fue su única aportación al Cálculo. Fermat también desarrollo un método para el cálculo de la ecuación de la recta tangente a una curva para ciertos tipos de curvas y realizó estudios sobre el cálculo del área encerrada entre una curva y una recta, llegando a desarrollar un método similar a la integral de Riemann, esto es, dividir el la región de la que se pretende calcular el área en rectángulos, sumar las áreas de éstos y aplicar límite después. De hecho, como Fermat no disponía del concepto de límite tuvo que sacar su ingenio para que las áreas de los rectángulos siguieran cierta regularidad, para poder así realizar el cálculo.

Por todo ello, la omisión del nombre de Fermat al tratar este tema constituiría una ofensa tanto al jurista francés como a la propia Historia.

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