Los centros del triángulo: el punto de Nagel

Han pasado ya unos meses desde la última entrega sobre los centros del triángulo, y hoy volvemos a la carga con ellos. En esta ocasión vamos a ver qué es el punto de Nagel, cuyo nombre se debe al geómetra alemán Christian Heinrich von Nagel, del que ya se habló ya en el post sobre la línea de Nagel (gracias a nuestro gran colaborador fede).

El punto de Nagel

Vamos a explicar cómo construir este punto con GeoGebra. Construimos un triángulo, en la figura, y trazamos las bisectrices interiores (en línea discontinua) y exteriores (en línea de puntos) de los tres ángulos. A continuación dibujamos las rectas que contienen a cada uno de los lados (en trazo continuo).

Cada dos bisectrices exteriores de dos ángulos distintos corta a la bisectriz interior del otro ángulo en un punto. Estos puntos nos van a servir para dibujar las circunferencias exinscritas del triángulo. Vamos a explicar cómo dibujar una de ellas:

Partimos del punto (intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos del vértice y del vértice con la bisectriz interior del ángulo del vértice ) y dibujamos las rectas que pasan por dicho punto y son perpendiculares a las rectas que contienen a los lados del triángulo. En este caso estas rectas cortan a las que contienen a los lados en los puntos y . La (única) circunferencia que pasa por esos tres puntos es una de las circunferencias exinscritas del triángulo inicial.

Haremos eso con los tres puntos de intersección entre dos bisectrices exteriores y una interior, obteniendo así las tres circunferencias exinscritas.

Cada una de estas circunferencias exinscritas tiene un punto en común con uno de los lados del triángulo. En este caso estos puntos son y . Si unimos cada uno de esos puntos con el vértice contrario a él obtenemos tres segmentos (en trazo continuo negro grueso) que se cortan en un único punto. Este punto es el punto de Nagel.

A continuación os dejo un applet de GeoGebra donde podéis ver la construcción completa. En ella podéis ver que los tres segmentos de trazo grueso son siempre concurrentes moviendo los vértices del triángulo inicial:

En esta construcción también podéis ver el incentro del triángulo inicial.

Y para terminar, recuerdo que podéis preguntar cualquier duda sobre la construcción de este punto en GeoGebra. Los comentarios, como siempre, son vuestros.