Cualquiera que haya tenido algún contacto con la serie armónica seguro que sabe que dicha serie es divergente, ¿verdad? Vale, vale, vamos un poco más despacio y recordemos lo que significan estos términos.
Se llama serie armónica a la siguiente serie de números reales:
y, hablando de series de términos positivos, se dice que una serie es divergente si su suma (el límite de su sucesión de sumas parciales para los puristas) es infinito.
Por tanto, lo que hemos dicho en la primera frase es que la suma
es infinito. Evidente, ¿verdad? Si sumamos infinitos términos no podría dar otra cosa…Bueno, en realidad sí, ya que, por ejemplo, con
eso no ocurre. De hecho se sabe que esta suma vale (muchos recordaréis que el cálculo del valor de la suma de esta serie se denomina el problema de Basilea, y II). Pero bueno, en este caso sí es así (or cierto, aquí tenéis una sencilla demostración de la divergencia de la serie armónica).
Bien, la serie armónica es divergente. Eso, entre otras cosas, significa que comenzando en 1 y sumando los términos de la forma en orden podemos llegar a superar cualquier número natural. Por ejemplo, para superar al 1 necesitamos dos términos
;
para superar al 2 necesitamos cuatro términos
;
para superar al 3 necesitamos once términos
;
y para superar al 4 necesitamos ya 31 términos nada menos
Y si seguimos la cantidad de términos necesarios para superar cada número natural aumenta considerablemente: para superar a 5 necesitamos 83 términos; para superar al 6 necesitamos 227 términos…para superar al 10 necesitaríamos la friolera de 12367 términos…para el 20 tendríamos que sumar 272400600 términos…(es la A002387 en la OEIS).
Vamos, que la serie armónica tiene suma infinita pero se acerca muy muy muy despacio a ella. Tiene, según se dice, una divergencia lenta. De hecho, como habéis podido ver, muy lenta (necesitar sumar más de 270 millones de términos para que la suma sea mayor que 20 puede considerarse muy muy lenta, ¿verdad?).
Cuento todo esto porque hace unos días, echando un ojo a algunos mails antiguos que tenía sin revisar, he visto que Nicolás (un lector del blog) me preguntaba hace tiempo sobre algo relacionado con este tema. En concreto, lo que quería saber es si se conocía alguna expresión que relacionara cada número natural con la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para que superemos a dicho número por primera vez. Bien, pues yo no he encontrado tal fórmula.
De hecho no tenía claro que existiera. Pero estaba pensando yo en el tema cuando vi que en la propia OEIS aparece la siguiente información:
Si llamamos
a la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para superar a
por primera vez, se conjetura que, para
:
siendo la constante de Euler-Mascheroni y
la función parte entera, que nos da el mayor número entero que sea menor que la cantidad a la que se le calcula.
Una expresión para calcular lo que buscamos que involucra a y a
. Tremendo. Vamos a comprobar esto para algunos valores de
y veamos si se cumple esta conjetura. Tomamos como
la aproximación
:
- Para
tenemos que
. Coincide con el valor real, bien.
- Para
tenemos que
, que también coincide con el valor real.
- Para
tenemos que
, que también coincide con el real.
- Para
tenemos que
. Vaya, pues también coincide.
Parece que la conjetura acierta para todos estos valores, y para muchos más (podéis comprobarlo vosotros mismos), pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (la conjetura de Polya es un muy buen ejemplo de ello). ¿Alguien conoce si esto ha sido elevado ya (mediante demostración) a la categoría de teorema o si, por el contrario, sigue siendo una conjetura?
Y para finalizar os dejo otra cuestión relacionada. También en la OEIS aparece la siguiente afirmación:
Si
es el numero de términos de la serie armónica que hay que sumar para que se supere por primera vez el natural
, entonces:
Qué gran resultado, ¿verdad? Bueno, pues aunque si uno realiza los cocientes de cada término entre el anterior parece que la afirmación es cierta, tampoco he encontrado demostración de este hecho, por lo que no sé si es un teorema o simplemente es una conjetura. A ver si alguno de vosotros puede aclararnos un poco estas cuestiones.
Ah, y si conocéis alguna otra propiedad interesante o curiosa relacionada con la serie armónica os agradecería que lo comentarais.
Esta es mi primera contribución para la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a Scientia potentia est.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Cualquiera que haya tenido algún contacto con la serie armónica seguro que sabe que dicha serie es divergente, ¿verdad? Vale, vale, vamos un poco más despacio y recordemos lo que significan estos términos. Se llama serie……
Si la primera afirmación resulta ser cierta, se puede demostrar la segunda fácilmente (el del límite).
Jaja interesante post 🙂
Muy interesante post 🙂
Respecto a la conjetura, llamando
a la suma parcial k-ésima de la serie armónica, sabemos por definición que:
Despejando
:
Y reemplazando
por
:
Lo de
podría interpretarse como «el número entero más cercano».
Obviamente, esto no es una demostración, sino sólo una aproximación intuitiva al tema.
Saludos!
La conjetura de Cloitre sólo es correcta para n pequeños. Un contraejemplo se encuentra en n=100. El número de términos para n=100 es del orden de 1,50927·10^43. Este número acaba en ….859497 (de aquí http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html). Haciendo el cálculo con eulergamma, el valor de la constante de Euler-Mascheroni de WolframAlpha obtenemos ….859496,864 y, por tanto, …859496 (de aquí http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28e%5E%28100-eulergamma%29%29-0.5 ).
El pequeño error vendría de la aproximación del valor del número armónico:
H(n) ¬ ganma + ln(n + 1/2) a partir de la definición de la constante de Euler-Mascheroni como un límite cuando n->inf.
con http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28e%5E%28100-eulergamma%29%29-0.5
Hn=suma parcial desde 1 hasta n de la serie armonica
numero de calculos que
hay que hacer ……………… para llegar a
(n= 10 a la p) ……………………..Hn=
p………………………………………..Hn
4………………………………………..10
43………………………………………100
434…………………………………….1000
4342…………………………………..10000
43429…………………………………100000
434294……….Ejemplo……………..1000000
4342944……………………………..10000000
43429447……………………………100000000
434294481………………………….1000000000
donde Hn= sumatoria desde 1 hasta n de (1/n) =
Hn = 1/1 +1/2 + 1/3 + 1/4…… (Aquí n=4)
Ejemplo:
si Hn = 1.000.000 entonces n está en el orden de 10 a la 434.294
[…] Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale […]
Lautaro, creo que el 1/2 viene de la mejor aproximacion
Me veo forzado a enlazar mi entrada sobre la rama y la oruga, para la que entre otras cosas creé un programa en C++ que tuve sumando durante más de 10 horas la serie armónica (sumé tantos términos como segundos tiene el universo) y la suma no llegó a 30 (aunque claro, hay que tener en cuenta el error de redondeo del ordenador: http://www.zurditorium.com/la-oruga-y-el-arbol-magico-la-serie-armonica Y bueno, una forma de calcular una aproximación de cuántos términos hacen falta para llegar a un número es aproximar dicha serie por la integral de 1/x. Si cogemos el intervalo [m,m+n+1] y lo dividimos en… Lee más »
Es curioso, pero me acabo de dar cuenta que la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales (problema de Basilea) es exactamente la inversa de la probabilidad de escoger dos números coprimos.
Ya sé que es una tontería, pero me ha parecido digno de mencionar.
Un saludo a todos.
Jajaja, de hecho, cuando resuelven ese problema, tarde o temprano se llega al resultado 1/suma del inverso de los cuadrados, lo que da el resultado que tu dices
[…] Desde Gaussianos nos dejan un entrada donde hablan de la serie armónica y su carácter divergente. También sale como estrella invitada la serie de los inversos de los cuadrados, es decir, el Problema de Basilea. Resulta que ahora mismo estamos escribiendo una entrada sobre el Problema de Basilea, con suerte estará para mañana totalmente acabada, y es que vamos a iniciar en este blog una serie de entradas dedicadas a ese tema (igual que ya hicimos con las Paradojas). […]
[…] ¿verdad? Ese concepto ha salido ya en varias ocasiones por aquí, por ejemplo la semana pasada con la lentitud de la serie armónica y hace algo más de tiempo con el problema de Basilea (y II). Si meternos en mucho formalismo, […]
[…] La lentitud de la serie armónica gaussianos.com/la-lentitud-de-la-serie-armonica/ por gabrielin hace nada […]
Hola a todos,
Esa expresion del calculo del numero n para sobrepasarlo con la serie armonica, debe ser cierta por la propia definición de la constante de Euler-Masscheroni, la cual se define precisamente como la diferencia entre la serie armonica y el logaritmo natural…
Un saludo
Francisco Jose Menchen Caballero
Hola a todos, se que es un poco tarde pero quiero preguntar si existen otras series de divergencia lenta, por ejemplo estuve mirando que
Crece bastante lento.
Lo agradezco de antemano
Les dejo unas reflexiones sobre el cálculo de la suma de la serie armónica mediante la hoja de cálculo Excel.
http://ideasexcel.com/excel-y-la-serie-armonica/
Aquí les comparto una fórmula que desarrollé para calcular la serie armónica.
https://twitter.com/jcastitol/status/494236310627155970