Cualquiera que haya tenido algún contacto con la serie armónica seguro que sabe que dicha serie es divergente, ¿verdad? Vale, vale, vamos un poco más despacio y recordemos lo que significan estos términos.

Se llama serie armónica a la siguiente serie de números reales:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n}}

y, hablando de series de términos positivos, se dice que una serie es divergente si su suma (el límite de su sucesión de sumas parciales para los puristas) es infinito.

Por tanto, lo que hemos dicho en la primera frase es que la suma

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+ \ldots

es infinito. Evidente, ¿verdad? Si sumamos infinitos términos no podría dar otra cosa…Bueno, en realidad sí, ya que, por ejemplo, con

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

eso no ocurre. De hecho se sabe que esta suma vale \pi^2/6 (muchos recordaréis que el cálculo del valor de la suma de esta serie se denomina el problema de Basilea, y II). Pero bueno, en este caso sí es así (or cierto, aquí tenéis una sencilla demostración de la divergencia de la serie armónica).

Bien, la serie armónica es divergente. Eso, entre otras cosas, significa que comenzando en 1 y sumando los términos de la forma 1/n en orden podemos llegar a superar cualquier número natural. Por ejemplo, para superar al 1 necesitamos dos términos

1+\cfrac{1}{2}=1,5;

para superar al 2 necesitamos cuatro términos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4} = 2,08 \overline{3};

para superar al 3 necesitamos once términos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\ldots+\cfrac{1}{11}=3,019 \overline{877344};

y para superar al 4 necesitamos ya 31 términos nada menos

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\ldots+\cfrac{1}{31} \approx 4,027

Y si seguimos la cantidad de términos necesarios para superar cada número natural aumenta considerablemente: para superar a 5 necesitamos 83 términos; para superar al 6 necesitamos 227 términos…para superar al 10 necesitaríamos la friolera de 12367 términos…para el 20 tendríamos que sumar 272400600 términos…(es la A002387 en la OEIS).

Vamos, que la serie armónica tiene suma infinita pero se acerca muy muy muy despacio a ella. Tiene, según se dice, una divergencia lenta. De hecho, como habéis podido ver, muy lenta (necesitar sumar más de 270 millones de términos para que la suma sea mayor que 20 puede considerarse muy muy lenta, ¿verdad?).

Cuento todo esto porque hace unos días, echando un ojo a algunos mails antiguos que tenía sin revisar, he visto que Nicolás (un lector del blog) me preguntaba hace tiempo sobre algo relacionado con este tema. En concreto, lo que quería saber es si se conocía alguna expresión que relacionara cada número natural con la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para que superemos a dicho número por primera vez. Bien, pues yo no he encontrado tal fórmula.

De hecho no tenía claro que existiera. Pero estaba pensando yo en el tema cuando vi que en la propia OEIS aparece la siguiente información:

Si llamamos a_n a la cantidad de términos de la serie armónica que hacen falta sumar para superar a n por primera vez, se conjetura que, para n > 1:

a_n=\left \lfloor e^{n-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor

siendo \gamma la constante de Euler-Mascheroni y \lfloor . \rfloor la función parte entera, que nos da el mayor número entero que sea menor que la cantidad a la que se le calcula.

Una expresión para calcular lo que buscamos que involucra a e y a \gamma. Tremendo. Vamos a comprobar esto para algunos valores de n y veamos si se cumple esta conjetura. Tomamos como \gamma la aproximación 0,577215664901532860607:

  • Para n=2 tenemos que a_2=\left \lfloor e^{2-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 4,64865562 \ldots \rfloor=4. Coincide con el valor real, bien.
  • Para n=4 tenemos que a_4=\left \lfloor e^{4-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 31,154649 \ldots \rfloor=31, que también coincide con el valor real.
  • Para n=10 tenemos que a_{10}=\left \lfloor e^{10-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 12367,4681 \ldots \rfloor=12367, que también coincide con el real.
  • Para n=20 tenemos que a_{20}=\left \lfloor e^{20-\gamma}+\cfrac{1}{2} \right \rfloor =\lfloor 272400600,5594 \ldots \rfloor=272400600. Vaya, pues también coincide.

Parece que la conjetura acierta para todos estos valores, y para muchos más (podéis comprobarlo vosotros mismos), pero ya sabemos que eso no nos sirve como demostración (la conjetura de Polya es un muy buen ejemplo de ello). ¿Alguien conoce si esto ha sido elevado ya (mediante demostración) a la categoría de teorema o si, por el contrario, sigue siendo una conjetura?

Y para finalizar os dejo otra cuestión relacionada. También en la OEIS aparece la siguiente afirmación:

Si a_n es el numero de términos de la serie armónica que hay que sumar para que se supere por primera vez el natural n, entonces:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}=e}

Qué gran resultado, ¿verdad? Bueno, pues aunque si uno realiza los cocientes de cada término entre el anterior parece que la afirmación es cierta, tampoco he encontrado demostración de este hecho, por lo que no sé si es un teorema o simplemente es una conjetura. A ver si alguno de vosotros puede aclararnos un poco estas cuestiones.

Ah, y si conocéis alguna otra propiedad interesante o curiosa relacionada con la serie armónica os agradecería que lo comentarais.

Esta es mi primera contribución para la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a Scientia potentia est.

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