Ahí va el problema de esta semana:
En el conjunto
se extiende la multiplicación de números reales a partir de las identidades
,
:
Hallar todas las raíces de la ecuación
,
.
Suerte.
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si encuentro más de dos soluciones tengo un problema en el cuerpo. ¿Quien es H? ¿es real? ¿es hijo de la noche?
Saludos
ap2
Mediante una manipulación algebraica sencilla, la ecuación se convierte en
luego será suficiente encontrar todos los números 
tales que 
. Si expresamos 
para 
, entonces se tiene que
, tendría que ser 
y 
. Si 
, entonces 
, de donde 
, que es imposible ya que 
es un número real. Por consiguiente, 
y 
. Deducimos de todo esto que las soluciones de la ecuación 
en 
son las de la forma
verificando 
.
y, por tanto, si
con
ap2,
es el anillo de cuaterniones de Hamilton. No es un cuerpo (la multiplicación no es conmutativa) así que no tiene por qué haber sólo dos soluciones. Una forma de pensar en los elementos de 
es como ciertas matrices 
con coeficientes complejos.
La visión de la experiencia nos juega malas pasadas. La definición del anillo de cuaterniones del enunciado es incorrecta: es bi y no b. A parte de eso, bonito problema y enhorabuena por la página tan currada.
Muy buena, Manzano. A pesar de que los cuaterniones forman un álgebra de división no conmutativa, en este caso particular sí es lícito completar cuadrados tal como has hecho. Lo llamativo de todo el asunto es que un cuaternión real negativo tiene toda una esfera bidimensional de raíces cuadradas. Es interesante ver cómo son las raíces cuadradas de un cuaternión en general. Un número complejo no nulo siempre tiene dos raíces cuadradas; en este caso ocurren cosas más variopintas. Con el permiso de ^DiAmOnD^, me gustaría proponer la siguiente cuestión, relacionada con el problema de hoy: se conoce que el… Lee más »
Si uno se fija en la primera propiedad, la del producto de sumas de dos cuadrados, se puede ver como la fórmula del producto de los módulos de números complejos. Así que la generalización es inmediata, calcular el producto de los «módulos» de dos cuaterniones aprovechando que la norma de cuaterniones es multiplicativa.
Sí para dos cuaterniones,
entonces
Hola
Las soluciones de esa ecuación son infinitas y tiene la forma:
Joer, ya le he dado al botón que no era. Quería decir
Siendo
CUALQUIER vector unitario tridimensional… como hay infinitos vectores unitarios tridimensionales… pues eso, infinitas soluciones.
La fórmula de las raíces enésimas de la unidad, en el conjunto de los cuartenios, es casi idéntica a la de los números complejos. La diferencia es que la unidad imaginaria i, se sustituye por cualquier combinación lineal de i, j, k (vector) cuyo módulo sea 1 (vector unitario).
Podéis hacer la prueba con
Como la expresión del producto a mí personalmente me parece muy compleja y dado que un cuaternio se puede expresar como la suma de un escalar más un vector
yo prefiero expresar el producto de dos quaternios 
como
Muy buena, Gulliver…esa era la idea 🙂 Así se obtiene la fórmula de cuatro cuadrados de Euler y Lagrange: http://mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html De hecho existen fórmulas de producto de sumas de cuadrados sólo cuando el número de sumandos es 1, 2, 4 y 8: http://mathworld.wolfram.com/DegensEight-SquareIdentity.html Con los complejos se pierde el orden de los reales; con los cuaterniones, la conmutatividad del producto; con los octoniones, la asociatividad; y ya con los sedeniones (dimensión 16) se pierde la división (hay divisores de cero) y la multiplicatividad de la norma. En fin, como anexo a la célebre frase de Hadamard, el camino más corto… Lee más »
Este enlace puede ser de interés sobre cuaterniones y octoniones: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/
Hola,
Efectivamente son los cuaterniones de Hamilton…
La ecuación queda de la forma -1 +/- raiz de -1, que en este caso tiene tres casos triviales, ya que por definicion i^2=j^2=k^2=-1, así tenemos 6 soluciones trivilaes:
(-1+i)
(-1-i)
(-1+j)
(-1-j)
(-1+k)
(-1-k)
Y como bien decian arriba y cualquier combinacion lineal de modulo unitario de i,j,k -1+û siendo û dicho vector unitario combinacion lineal los vectores unitarios i, j y k.
Un saludo desde Elemens
Francisco Jose Menchen