Os traigo hoy el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Un número natural de diez dígitos o menos es autobiográfico si, comenzando por la izquierda, su primera cifra indica el número de ceros que tiene el número, su segunda cifra el número de unos, y así sucesivamente. Por ejemplo, el número
es autobiográfico.
El problema consiste en encontrar el menor número autobiográfico, y, evidentemente, explicar el razonamiento lógico empleado para ello.
Problema sencillo para esta semana. A por él.
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Yo diría que el 1210, y he llegado por eliminación, ya que el número de cifras del número te limitan los dígitos posibles que pueden aparecer (por ejemplo, si es de dos cifras sólo pueden aparecer ceros y unos), así que con una cifra sólo puede ser el 0, que no es autobiográfico, con dos cifras sólo pueden ser el 10 y el 11 y ninguno es autobiográfico, con tres cifras, si empieza por 1 tiene que tener un cero, así que sólo puede ser 101, 102, 110 o 120, que tampoco es ninguno y si empieza por dos, sólo… Lee más »
Entiendo que el primer número autobiográfico es el 1.
El 1 se puede expresar como 01 [cero uno], diciendo que, en primer lugar tiene cero ceros, y en segundo lugar tiene un uno.
Un saludo a todos
Sea el número de dígitos, nótese que que si el dígito aparece en el número autobiográfico entonces , ya que el primero dígito del número indica cuántas veces aparece el número cero, el segundo indica cuántas veces el número uno, y, así, el -ésimo dígito indica cuántas veces aparece , por lo que debe haber al menos dígitos. (*) Además, el primer dígito debe ser distinto de cero para que el número realmente sea de dígitos, (por ejemplo: el número 01, es realmente de un dígito, no de dos) (**) Esto mismo, implica a su vez que debe aparecer en… Lee más »
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@Dark: 01, no tiene «cero ceros»
y el 110
no puede ser please
El menor ya hemos dado con él, pero… ¿Y el mayor?
A mí me sale 6210001000
@Sive
A mi me sale
9210000001000
El 10 tiene 1 cero y 0 unos
Vicente, ¿seguro que tiene 0 unos?
@Lemur
Ha de tener 10 dígitos o menos según el enunciado.
La suma de los dígitos debe coincidir con el número de dígitos (claro) y ésto permite buscarlos fácilmente (ej. con Haskell aquí) los números son:
1210
2020
21200
3211000
42101000
521001000
6210001000
72100001000
821000001000
9210000001000
hasta 17 dígitos no hay ninguno, para n>17 se ve que, como no puede haber más de 9 ceros, tendría que haber particiones de 9 dígitos tipo 1, 2, … lo cual forzaría claramente a haber más de tipo 2, 3, … lo cual no es posible.
Algo anecdótico respecto a este problema que propone ^DiAmOnD^ es que apareció hace 2 o 3 semanas en una olimpíada realizada aquí, en Argentina.
El problema iba destinado a chicos de entre 8º y 9º año de escolaridad, y pedía que se determinaran los tres menores números «autobiográficos» (en el problema se los denominaba «números claros», pero cumplían con las mismas características).
Si alguien tiene ganas de encarar el siguiente problema, se me planteo en unas olimpiadas regionales (previas a las nacionales), y dice lo siguiente:
Sea M el numero de 2011 digitos, todos 8. Sea N el numero de 2011 digitos, todos ellos 5. Sea A = 9·M·N. Calcular la suma de los digitos de A.
Respecto al problema que propone Pedro T. me atrevería a decir que el resultado es:
2010*4+3+2010*5+6=2011*9=18099
0011 o sea el 11 me extraña que nadie lo haya dicho asi que si se me escapa algo decidmelo por favor.
Yo, en el 11 hay dos unos y cero doses. Para ser autobiográfico debería haber un uno y un dos.
Damiancete, ¿como llegas al resultado? (Que es correcto).
Me interesa como lo resolviste, mas que el resultado.
Pedro T., coge una calculadora y ve probando: 9x88x55, 9x888x555, 9x8888x5555,…
Si n es el número de dígitos, queda 4(n-1)+3+5(n-1)+6, que haciendo cuentas es lo mismo que 9n. No lo demostré, pero me imagino que estará bien…
Jaja pero tu calculadora tiene una buena cantidad de digitos! Esta bien. Habria que demostrarlo de alguna manera (ej. por induccion, no se si se puede). Te muestro una forma Cualquier numero de la forma, con n unos, lo podemos expresar como Despues como esta elevado al cuadrado y tiene 2011 unos Claramente las dos potencias de diez que estan escritas son de la forma y con 4022 y 2011 cifras respectivamente. Despues se sigue con algunas sumas y restas, que por ejemplo, en el primer caso tenemos que , con 2010 unos, y 2010 ochos. Al multiplicar por cuatro… Lee más »
Gracias Pedro T. por tu demostración. Intenté buscar la forma de hacerlo por inducción pero no la encuentro. Por «fuerza bruta»: 9*888…8*555…5=9*888…8*5*111…1=9*444…4*10*111…1=(39)99…96*111…1*10 donde todos los números tienen 2011 cifras (el 3999…96 tiene 2012). Descarto el 10 ya que no influye en la suma de las cifras. Por tanto, haciendo la multiplicación a mano, obtenemos 2011 filas y 4022 columnas, siendo 39999…..96 todas las filas. Cada columna es de la forma: Columna 4022: 6 Columna 4021: 9+6 Columna 4020: 9+9+6 Columna 4019: 9+9+9+6 …………………………….. Columna 2012: 9*2010+6 Columna 2011: 3+9*2010 Columna 2010: 3+9*2009 Columna 2009: 3+9*2008 ……………………………. Columna 3: 3+9+9 Columna… Lee más »
Quisiera saber de donde has conseguido este problema?? la duda surge de que el mismo fue tomado en la instancia regional (de nivel 1, es decir para chicos de 12-13 años) de las Olimpiadas Matematicas Argentinas hace 3 o 4 semanas… con la unica diferencia de que pedia hallar los primeros 3 y se los llamaba numeros «claros».
Andrés, si te digo la verdad ahora mismo no lo recuerdo. Voy a pensar a ver si lo recuerdo.
El numero mas grande autobiografico es el 6210001000. como la dijeron la suma de sus digitos debe ser igual al numero de digitos en este caso es 10, un numero autobiografico por definicion es un numero natural de 10 digitos o menos asi que el mas grande debe tener 10 dijitos, si empezamos a construirlo: 9000000000 <——- tiene 9 ceros pero no indicamos que existe un 9 en el numero 9000000001 <——- Ya lo indicamos pero ahora existe un 1 en el numero y solo ocho 0 8100000001 <——- Ahora tenemos dos 1 ya no hay 9, tenemos un 8… Lee más »
Como curiosidad, es una distribución de números del 0 al 9 y bastante regural por lo que parece, dado que 4022 * 4.5 = 18099.
Sglubbb