Hace unos meses hablábamos sobre cómo usar piezas de mecano para construir ciertos tipos de números. Hoy vamos a continuar trabajando con estas piezas para realizar interesantes y sorprendentes construcciones relacionadas con ángulos.

Lo primero que vamos a hacer es recordar lo que hicimos en la entrada anterior. En ella vimos una manera de construir los números racionales y las raíces cuadradas con estas piezas de mecano

y también vimos cómo construir un artilugio mediante el cual un cierto punto C (intersección de dos de las piezas) se mueve a lo largo de una línea recta

En esta entrada, como ya hemos comentado, los protagonistas van a ser los ángulos. La cosa va a ir sobre divisiones de ángulos en partes iguales, y concretamente sobre bisección y trisección de ángulos. Sí, sí, habéis leído bien, bisección y trisección. Sí, es verdad, es sencillo bisecar (dividir en dos partes iguales) un ángulo con regla y compás pero, en general, no se puede trisecar (dividir en tres partes iguales) un ángulo con esas herramientas. Pero nosotros vamos a usar piezas de mecano, que son muy muy potentes. Sigue leyendo y lo verás.

Bisección de un ángulo

Comenzamos con un ángulo cualquiera \psi formado por dos piezas de mecano (el formado por las piezas marrones que aparecen en la siguiente imagen a izquierda y derecha). ¿Cómo podríamos realizar una bisección aproximada de este ángulo? Pues, por ejemplo, como aparece en la imagen, en la que se ha dividido el ángulo \psi en suma de dos ángulos, \alpha y \beta, aproximadamente iguales

Sí, cierto, no son ni aproximadamente iguales, pero no nos importa. Nos da igual por ahora lo parecidos que sean estos ángulos, con tener una manera de dividir un ángulo en suma de otros dos (a la que podemos llamar falso bisector) es suficiente.

Y ahora viene la clave. Una forma de construir un bisector exacto es usar varios falsos bisectores. Colocamos un falso bisector del ángulo \psi, que lo dividirá en \alpha + \beta. Después a partir de \beta colocamos un nuevo falso bisector simétrico al anterior, creando entonces una nueva copia del ángulo \alpha. Y a partir de este último añadimos un nuevo falso bisector, apareciendo ahora una copia nueva de \beta. Todo ello aparece en la siguiente imagen:

Fijémonos en el ángulo total que obtenemos. Sería

\alpha + \beta + \alpha + \beta=\psi + \psi =2 \psi = \varphi

Vamos, que lo que hemos hecho es realizar la bisección del ángulo \varphi.

Trisección de un ángulo

¿Y qué ocurre con la trisección? Sí, se puede realizar la trisección de un ángulo con piezas de mecano, y seguro que más de uno habrá adivinado ya cómo hacerlo. Si hemos dicho que para la bisección unimos varios bisectores falsos, para la trisección actuaremos de la misma forma utilizando más bisectores de este tipo. Concretamente tendremos que realizar el proceso anterior una vez más para obtener otra copia de \alpha + \beta, con lo que obtendremos una trisección exacta del ángulo \psi+\psi+\psi=\gamma

consiguiendo así una construcción que, en general, es imposible de realizar con regla y compás. Y además, por el mismo argumento, podemos dividir un ángulo cualquiera en un número entero cualquiera de partes repitiendo el proceso.

Enorme el potencial de estas construcciones con piezas de mecano, nunca dejarán de sorprenderme. Pronto tendremos una nueva entrega sobre ellas.

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