Os dejo el problema de esta semana:
Dado un triángulo con ángulos
y
, demostrar que dicho triángulo es rectángulo si y sólo si:
Y sí, parece que después de pensar en la serie sobre los centros del triángulo todo lo que encuentro está relacionado con ellos. Pero bueno, ello no disminuye el interés que tiene esta simple figura
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[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and Proyecto Fedora Perú, Miguel Angel Reyes H. Miguel Angel Reyes H said: RT @gaussianos: Gaussianos.com: Caracterizando a los triángulos rectángulos http://bit.ly/b1SI97 // esto no lo había hecho, ni lo sabía […]
Bueno, a ver qué tal, que estoy recién levantado y acabo de ver el problema.
Supongamos pues que el triángulo es rectángulo. Entonces uno de los ángulos tiene que medir 90º
Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que
Entonces
Además,
Por lo tanto
Bueno, a ver qué tal, que estoy recién levantado y acabo de ver el problema. Supongamos pues que el triángulo es rectángulo. Entonces uno de los ángulos tiene que medir 90º Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que =90º Entonces =1 Además, = , por trigonometría elemental. Por lo tanto + + = + + 1=2 ) Supongamos que es cierto que Por estar acotado , lo está su cuadrado. Como mucho puede valer 1, y esto es si vale 90º o 270º. Como estamos en un triángulo, tiene que ser que = 90º y esto implica que es un… Lee más »
He tenido que poner otro comentario porque, al editar el primero, me daba muchos problemas después. No me valía con copiar y pegar las fórmulas, tenía que escribirlas de nuevo.
En fin, que si hay algún problema con la demostración, no me extrañaría, estoy recién levantado.
Un saludo!
Ya está.
Como condición suficiente, es como ha escrito alaspencas: tomamos cualquier ángulo como el recto, de manera que su seno es la unidad. Como el triángulo es rectángulo A + B = 90º, son complementarios, de manera que sen A = cos B… ya dicho.
Que es condición suficiente, a mi juicio no está aún demostrada.
Yo he probado con una combinación del teorema del seno y el del coseno.
Teorema del seno:
Me he hartado del «formula does not parse». A otra cosa.
Buenos Días
Creo que tengo una solución. La condición necesaria ya ha sido demostrada, voy a demostrar la suficiencia.
En un triángulo siempre existen al menos dos ángulos que son menores a
, seán estos ángulos 
y 
. Comencemos nuestra deducción.
Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo.
Un Saludo
Como tanto
como 
son menores que 
, se cumple que 
; por lo que es valido realizar la siguiente simplificación.
Aplicando de nuevo que tanto
como 
son menores que 
, se cumple
y por tanto
Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo.
Un Saludo
La primera vez que en el mensaje anterior aparece la frase
«Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo»
es un error en la escritura del mismo, por favor, hagan como si no lo hubiese escrito.
Un Saludo
En general se tiene que
(o bien 
)).
Ya que los tres ángulos suman
: 
. Con lo cual se tendrá que 
. De aquí que
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana: Dado un triángulo con ángulos y , demostrar que dicho triángulo es rectángulo si y sólo si: Y sí, parece que después de pensar en la serie sobre los centros del triángulo todo lo qu……
Llamemos a al ángulo recto, y b y c a los restantes (no sé poner alfa, beta y gamma).
Entonces, como a es recto,
; 
; luego 
; 
. Si simplemente sustituimos:
Como a mide 90º, mientras no neguemos el 5º postulado, b y c sumarán 90º, y
Lo cual es una identidad trigonométrica por todos aquí conocida, y equivale a decir que el triángulo satisface el teorema de Pitágoras.
Muy fácil,
si gamma es el ángulo recto, entonces
por otro lado:
Y recordando una de las reglas elementales de trigonometría
Por lo que queda:
QED
Teorema del seno: Con a, b y c los lados y R el radio de la circunferencia circunscrita. Teorema del coseno: y análogamente para b. Sustituyendo en la fórmula del teorema del coseno: Simplificando los factores 4R*R y arreglando un poco: Por hipótesis, el miembro de la izquierda vale 2, de modo que el de la derecha también, con lo que De aquí, o bien cos C = 0, que hace que C = 90º (el ángulo no puede ser 270º por pertenecer a un triángulo), de manera que el triángulo es rectángulo o bien Pero como Tenemos Usando la… Lee más »
M, a mi me sale un dos, no un cuatro.
Y bueno, sí, el camino parece más corto 😀
Vayapordios: es sumando 1 y no restándolo. De todos modos:
Sí, es un cuatro, más «largo» que antes pero más «corto» que mi dos. Gracias por la aclaración-teorema.
el primero de los problemas que habeis puesto que soy capaz de resolver.. TOMA!!
pon más de estos chacho
Me parece muy buena la demostración de AntonioQD, sobretodo con la implicación no inmediata. Hice un sistema con el teorema del coseno, el teorema del seno y la del enunciado para llegar a que debía ser rectángulo pero al final llegué a una igualdad con la que no puedo.
Un saludo.