Cifra final de un número perfecto
Ya sabemos desde este post que un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, los divisores propios de 
Lo primero en lo que uno puede fijarse es que todos ellos son pares. Podríamos preguntarnos si hay algún número impar que sea perfecto, pero por desgracia todavía no sabemos la respuesta. Se conjetura que no pero todavía no se sabe si esa conjetura es cierta o falsa.
Otra de las curiosidades que podemos advertir es que todos los citados acaban en 
Probar que todo número perfecto par tendrá como última cifra un
04/09/2007
Si se pudiera probar, tendríamos la demostración de que los números perfectos tienen que ser pares…
04/09/2007
duhu, se pide demostrar que acaba en 6 u 8 sólo si es par.
Yo creo haber visto la demostración de ésto en algún libro de Teoría de Números, pero ya no la recuerdo, y tal y como has presentado el problema suena a los típicos acertijos de: “un tren que va a 100 km/h desde Madrid a Valencia se cruza con un paso a nivel que hay sobre un puente… ¿cómo se llama el maquinista?” xD
Se puede demostrar, pero así, sin pistas, es sólo para los que estudiamos matemáticas 😀
04/09/2007
mimetist, la respuesta es fácil, los puentes no tienen maquinistas!!! (no he podido evitarlo xD)
04/09/2007
Recuerdo que Euclides propuso el siguiente método para calcular números perfectos:
“Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto”
Ejemplo:
(1+2)·2 = 6
(1+2+4)·4 = 28
Para 1+2+4+8 = 15 no da un número primo, por lo tanto no vale
(1+2+4+8+16)·16 = 496
…
Todos los números perfectos que se obtienen por este método son pares, se ve inmediatamente que no habrá ningún número pefrecto impar, ya que todos se obtienen de un producto en el que uno de los factores es siempre par (2^n)
LLegando un poco más lejos la suma de la progresión geométrica S(n) = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^n se sabe que S(n) = [r·a(n) – a(1)]/[r – 1], en este caso S(n) = 2·2^n – 1 = 2^(n+1) – 1, si esta suma resulta ser un número primo el producto de la misma por el último término 2^n de la sucesión será un número perfecto. Ya sabemos que los números perfectos de Euclides son de la forma [2^(n+1) – 1]·2^n o como más comunmente suele aparecer [2^n – 1]·2^(n-1)
Es verdad que si 2^n – 1 es un número primo, entonces (2^n – 1)·2^(n–1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Tambien decir que a los números primos generados por la fórmula 2^n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne.
”Probar que todo número perfecto de la forma (2^n – 1)·2^(n–1), donde (2^n – 1) es un número primo, tendrá como última cifra un 6 o un 8
Espero no haber metido mucho la pata 😉
04/09/2007
Partimos del hecho de que si N es perfecto y par debe ser de la forma
, siendo 
y 
ambos números primos. Entonces pueden darse tres situaciones respecto a 
:
1) Si
, entonces 
y es obvio el enunciado.
2) Si
, con 
, entonces
ya que todas las potencias de 16 acaban en 6 (inducción). Así si p es un múltiplo de 4 más 1 entonces N acaba en 6.
3) Si
, con 
, entonces
ya que todas las potencias de 16 acaban en 6 (inducción). Por tanto si p es un múltiplo de 4 más 3 entonces N acaba en 8.
11/07/2016
muchas gracias domingo HA, por tu aporte me sirvio mucho
04/09/2007
Domingo sí señor, demostrado queda.
Un detalle:
Es bastante evidente que si
es un número perfecto entonces es par. Lo que no es tan evidente es que si 
es un número perfecto par entonces es de esa forma. Este hecho fue demostrado por el gran Leonhard Euler. Por tanto el comienzo de la demostración de Domingo es totalmente correcto.
Por cierto Domingo, tienes un mail.
04/09/2007
Efectivamente, probar que los números perfectos pares son de esa forma no es directo, aunque es verdad jejeje. A ver si alguien se anima a demostrarlo…
04/09/2007
Con respecto a los números perfectos impares, y hasta donde yo sé, en caso de existir alguno debe tener al menos 8 factores primos distintos y ser superior a
. No conozco la demostración de esto, pero tiene pinta de ser muy complejo.
Propongo con permiso del administrador la siguiente cuestión:
Demostrar que si un número
es perfecto e impar entonces debe tener al menos tres factores primos.
Pista: Razonar, por reducción al absurdo, porqué no puede ser que
tenga sólo uno o dos factores primos.
Creo que está al alcance de nuestras posibilidades demostrarlo. Ánimo!
05/09/2007
Aqui les dejo el codigo de un programa escrito en C que he echo. Tal vez les pueda interesar
Permite calcular numero perfectos hasta el deseado ( pueden jugar con la variable para llegar mas lejos).
Saludos
#include
#include
void divi(int);
void main(void)
{
long unsigned int dato=1;
clrscr();
divi(dato);
getch();
}
void divi(int dato)
{
int cont=1, suma=0, a;
printf(“hasta que numero desea analizar:\t”);
scanf(“%d”,&a);
while(datocont)
{
if(!(dato%cont))
suma=suma+cont;
cont++;
}
if(suma==dato)
printf(“%d es perfecto\n”,dato);
dato++;
cont=1;
suma=0;
}
}
06/09/2007
nadie se anima a demostrar que los números perfectos impares deben ser divisibles al menos por 3 primos diferentes?? vamos que no es muy difícl
06/09/2007
Domingo cuando pusiste el reto estuve pensándolo un rato y tengo parte. Déjame al menos el finde y lo sigo pensando.
Un saludo
06/09/2007
Ya que insistes… se me ha ocurrido que:
– Si tiene un solo factor primo, es que es un número primo y como divisor solamente tendría al 1. Por lo tanto descartado.
– Si tiene 2 factores (N = a·b) entonces la única posibilidad es que N = a + b + 1. Para ser impar ni a ni b pueden valer 2, es decir son mayores, y en este caso es evidente que N = a·b > a + b + 1, con lo cual quedaría demostrado que dos factores no son suficientes.
06/09/2007
Asier, no es correcto lo que argumentas:
que tenga un único factor primo no quiere decir que el número sea primo. Dicho de otro modo, si tiene un único factor primo
es que el número es de la forma 
con 
. Por ejemplo, 27 o 625 tienen un único factor primo (el 3 y el 5, resp.).
Si tiene dos factores primos es que es de la forma
07/09/2007
Perdona Domingo, no lo había interpretado correctamente. Así parece más complicado, mañana le doy alguna vuelta más. Un saludo.
08/09/2007
El caso en el que solo hay un factor seria N=
…
+…+
= 
, se tiene
para
Entonces, los factores serian
Y su suma, la suma de una progresion geometrica
1+p+
Igualando esta suma a
$latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}=p^n \Leftrightarrow
p^{n+1}-1=p{n+1}-p \Leftrightarrow
p=1 \Leftrightarrow N=1$
Y el 1 es un numero que para estas cosas nunca nos gusta, asi que lo descartamos como perfecto,y por tanto un numero perfecto no tendra un solo factor primo
08/09/2007
El caso en el que solo hay un factor seria N=
…
+…+
= 
, se tiene
para
Entonces, los factores serian
Y su suma, la suma de una progresion geometrica
1+p+
Igualando esta suma a
$latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}=p^n \Leftrightarrow
p^{n+1}-1=p^{n+1}-p \Leftrightarrow
p=1 \Leftrightarrow N=1$
Y el 1 es un numero que para estas cosas nunca nos gusta, asi que lo descartamos como perfecto,y por tanto un numero perfecto no tendra un solo factor primo
08/09/2007
Bueno, de todas formas, he cometido un error pues la formula de la progresion geometrica se puede aplicar solo si p es distinto de 1. Aun asi, si p=1, N=1….
08/09/2007
Edmond, el razonamiento es prácticamente correcto. Efectivamente,
porque debe ser un primo impar.
Sólo hay que corregir un pequeño detalle. La suma de todos los divisores la debes igualar a
, y no a 
(la igualarías a 
en que caso de que sumes los divisores propios). Cuidado que has cometido un error, en una equivalencia. Debe ser
, siendo 
.
De aquí se concluye que
(sacando 
como factor común). Absurdo.
09/10/2017
p|1 por qué es un absurdo?
08/09/2007
Ahora queda ver por qué un número perfecto impar tampoco puede tener sólo dos factores primos. Ánimo, que la prueba es corta y preciosa!!
07/04/2015
HOLA, COMO ESTÁN
ALGUIEN ME PODRIA AYUDAR CON LA PRUEBA DE:
Para todo n Entero, 2^n no divide a n!
Gracias.