El burro y la alfalfa

Publicado por ^DiAmOnD^ | 22 diciembre, 2009 | Juegos | 128 |

El problema de la semana lo envía Miguel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Ahí va:

Dos amigos tienen un terreno circular de alfalfa y uno de ellos tiene un burro encadenado a un punto fijo del perímetro (circunferencia). ¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda para que el burro sólo tenga acceso a la mitad de la alfalfa?

A ver qué tal se os da.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

22/12/2009 08:00

Información Bitacoras.com…

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Jones, Francisco

22/12/2009 09:13

El burro está atado con una cuerda o con una cadena? :-}

Responde

bibliotranstornado

22/12/2009 09:53

Si el campo tiene un radio $R$ y usamos una cuerda de longitud $r$ .

$\pi * r^{2} = 1/2 * \pi * R^{2}$

Con lo que $r$ es:

$r = R / \sqrt{2}$

Miguel

22/12/2009 10:00

El burro no está en el centro, está en la cuerda de la circunferencia, por lo que me temo que no es lo que se buscaba.

Responde

Jubileta

Reply to Miguel

17/12/2017 19:21

Dibuja una circuferencia de radio R,y dividela con sus diametros de Norte a Sur y de Este a Oeste. Verás que si unes el extremo Sur con el Este tienes una cuerda cuya longitud es R por raiz de 2. Desde el Sur con ese radio R^2, trazas una cirufrencia que pasará por los puntos Este y Oeste y te formará una chepa sobre el diametro que va de Este a Oeste. Vamos a tratar de calcular el area de esa chepa. Si observas veras que el angulo que se forma en el Sur por los radios de R^2 es… Lee más »

Responde

Carlos

22/12/2009 10:05

bibliotranstornado, esa respuesta no me parece correcta, el enunciado dice que el burro esta atado a un punto fijo del perímetro (que representa el borde del campo) y no al centro como tu tal vez lo entendiste

Responde

Carlos

22/12/2009 10:08

mmmm la longitud de la cuerda del burro debe ser mayor a la del radio de la circunferencia…

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22/12/2009 10:10

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Jorge

22/12/2009 10:10

¡Alerta de solución!:

EDITADO por ^DiAmOnD^

Jorge, antes de publicar un enlace con una solución mejor dejar que la gente intente resolverlo por su cuenta. ¿No te parece? 🙂

Responde

josejuan

22/12/2009 10:54

Bueno, da igual lo que mida el campo (cual sea el radio) podemos suponer éste R=1 sin pérdida de generalidad.

Así, podemos sacar la superfície que puede alcanzar si la cuerda mide r que es

$A(r)=(\pi -2\arcsin \frac{r}{2})r^{2}+2\arcsin \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}$

como no parece sencillo despejar r, lo mejor es usar un método numérico que nos vendría a dar que r=0.65 o así.

Bueno, no es la mejor, pero sí la más rápida 😉

Responde

Javier

22/12/2009 11:22

cuerda= \sqrt{2}-1

Responde

Javier

22/12/2009 11:23

$cuerda= \sqrt{2}-1$

Responde

Javier

22/12/2009 11:36

$cuerda= radio parcela {\sqrt{2}-1 \over 1-(\sqrt{2}-1)}$

este último creo que sí.

Responde

Baro

22/12/2009 11:57

Por simetría del problema si un círculo come la mitad del área deja la mitad sin comer lo mismo le sucede al círculo que es comido de tal manera que R=r si realizar ningún cálculo

Responde

Baro

22/12/2009 12:03

He releido el problema y mi solución no es correcta
Sorry

Responde

josejuan

22/12/2009 12:06

Perdón, antes resolví numéricamente buscando
$A(r)=\frac{1}{2}$
cuando debía ser
$A(r)=\frac{\pi }{2}$
la solución es
$r=1.\,\allowbreak 319\,0\allowbreak$

Responde

bibliotranstornado

22/12/2009 12:18

Sí, me había parecido tan sencillo…

La solución saldrá de resolver la $r$ en la ecuación:

$\pi R^2 / 2 = 2 \int_{0}^{r \cos {\arcsin{r/2R}}} \sqrt{r^2-x^2}-\sqrt{2Rx-x^2} \,dx$

Responde

Lek

22/12/2009 14:29

Pues yo pienso como Baro inicialmente… el radio es la longitud

Responde

josejuan

22/12/2009 15:01

Uhm… no se porqué otra vez tenía mal el cálculo, usando sólo geometría, la relación directamente sale como
$A(r)=2\arcsin \frac{r}{2}+r^{2}\arccos \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}$
que no es más que la suma de los dos sectores menos la del rombo que tienen en común.
El resultado de despejar «r» (numéricamente eso sí) me da
$1.1587$

Responde

forsakenwins

Reply to josejuan

23/04/2018 22:18

El vencedor es absolutamente 1.1587 un brillante razonamiento expresado en 6 líneas, sin duda un clásico de las ecuaciones trascendentales iterables, se aprecia que L es un poquito mayor que R y que alfa es un poquito menor a pi/3, entonces se itera en esa vecindad, mis felicitaciones a josejuan, y el resto estudien. Atte forsakenwins

-1

Responde

Jones, Francisco

22/12/2009 15:14

Josejuan, se supone que r es la longitud de la cuerda.
pero, ¿el radio del terreno circular no debería influir en el resultado?

Responde

josejuan

22/12/2009 15:40

«Jones», imaginate que estás sobrevolando en globo a muchos metros de altura el campo en el que está pastando el burro, ¿qué radio creerías que tiene el campo?, ¿y la cuerda?.

¡Da igual!

Sólo tienes que realizar un cambio de escala para que el campo (y la cuerda) tenga el tamaño (longitud) que quieras.

Por eso, basta que lo resuelvas fijando R=1, de esta forma, si decimos que r=1.1587, entonces, para un campo de R=2 será r=2.3174.

Así es más fácil (no mucho más, pero sí más fácil).

Responde

Dani

22/12/2009 15:45

Centro la circumferencia (asumo de radio uno) en el punto (1,0), supongo el burro atado al origen y resuelvo para el ángulo entre la cuerda del burro estando completamente tensada y tocando la semicircumferencia superior. (Así luego se obtiene la longitud de la cuerda en función del radio del campo de alfalfa pues al ángulo le dan igual las magnitudes) (qué complicadas son las palabras y qué fáciles los dibujos!). Quiero integrar la zona en cuestión (dentro de la circumferencia de radio uno centrada en el (1,0); el campo de alfalfa, y dentro de la circumferencia centrada en el (1,0)… Lee más »

Responde

Esteban

22/12/2009 19:11

Finalmente lo pude resolver con geometria

Responde

Esteban

22/12/2009 19:18

perdon con solo trigonometria y geometria

Responde

22/12/2009 19:45

ya esta

Responde

22/12/2009 20:37

Sea El Area del circulo(Alfalfa), El radio del circulo(de alfalfa). Sea El area del circulo que barre la cuerda del burro(totalmente extendida), Sea El radio de esa cuerda(la cuerda o cadena, nose, que amarra al burro). Tenemos las siguientes relaciones: Bien(Se Facilitaria mas la comprension de lo que sigue si hubiera la herramienta de dibujo rapido). El origen del radio de la cuerda esta ligada a un punto del perimetro(un punto por el que pase una tangente exterior), asi el »conjunto» A’ queda dividido en 2. Una parte de esa division es comun al area de del terreno circular, esa… Lee más »

Responde

22/12/2009 20:39

creo que ese es el radio de la cuerda para que el burro tenga acceso a la mitad del terreno circular de alfalfa y otra fuera de ese.

Responde

Elías

22/12/2009 20:43

Bueno, la ecuación que obtengo el la misma que la de Dani y josejuan, la cual resolví usando el Excel. El problema lo conozco desde hace 43 años, pero nunca he visto una solución que no involucre ecuaciones trascendentes implícitas para resolverlo.

¿Habrá alguna forma distinta?, digamos al estilo de las Olimpiadas.

Saludos

Responde

Dani

22/12/2009 21:05

Ty, no entiendo muy bien a lo que te refieres con $\sigma$ y $\nu$ , pero hay una manera de verificar que tu respuesta no puede ser correcta, ya que para $R=1$ te da que la longitud de la cuerda es $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$ , con lo cual el burro nunca cruzaría al semicírculo opuesto y desde luego no podría llegar a la mitad de la alfalfa.

Responde

22/12/2009 22:51

Hmm…a ver si reviso algo, pero quisiera que me alguien me dijiese que razonamiento realizo mal, para asi mejorar 🙂

Responde

22/12/2009 23:35

No, ya esta…he verificado todo y esta bien…solo que he hecho un despeje mal….asi es:

$r = \sqrt[2]{\frac{3}{2}}R$ (Radio de la Cuerda)

Asi por ejemplo, si R=1 , entonces r>1 y r = 1.224… y entonces…. el area que puede barrer el burro es $\sigma = \pi (1.488 - 1)$ = 1.570796327 .

Ahora caqlculemos el area de la mitad del terreno circular(con R=1), seria :
A = (3.141592)(1)/2 = 1.570796327
y ya esta!. Resulta ser que el burro puede pastear exactamente la mitad del area del terreno circular de alfalfa

Responde

GORKA

Reply to Ty

05/07/2019 10:47

Yo he hecho de la siguiente manera circuferencia radio 5 con centro en el punto sur y radio de sur a este he trazado una circuferencia cuyo radio es raiz de 50. Y he calculado el area de lo que sobresale sobre la mitad del circulo original. Lo he hallado viendo el area entre la cuerda de 10 metros y el arco como el angulo es de 90 el area sera la cuarta parte del circulo grande menos el triangulo area ihual a pix50/4-25 IGUAL A 14,27 LUEGO EL AREA QUE PODRA COMER SERA 78,54 mas 14,27 igual a 92,81… Lee más »

Responde

Ty=Tobar

22/12/2009 23:39

r(Radio de la cuerda) y R(Radio del terreno circular de alfalfa)

Responde

Esteban

23/12/2009 00:45

Ty, con esa relacion de radios no me da que el area sea 1.57 me da 1.717 al ser reemplazada en la ecuacion de JoseJuan.

PS mi resultado es igual al que presenta Dani y JoseJuan

Responde

Pastrana

23/12/2009 01:11

Ty, según dices, la suma de las áreas $\sigma$ y $v$ tiene que ser igual a $\pi r^2$ , pero si sumamos las dos expresiones que valen dichas áreas, el resultado es $2\pi r^2-\frac{3}{2}\pi R^2$ con lo que algo no cuadra o no lo entiendo.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 01:46

Patrana, $A' = \sigma + \nu$ o lo que es lo mismo

$A'=\pi r^{2} , \pi r^{2} = \sigma + \nu$

$A' = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \sigma$

si , $\sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle$ pero recuerda que esta es la area comun entre los circulos de radios R y r, y esta area es la que necesito que valga exactamente la mitad del area de la alfalfa, esto es:

$\sigma = \pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\frac{R^{2}}{2}$ (de donde se deduce la expresion del radio dado anteriormente), asi pues reemplazando esta otra
expresion de $\sigma$ , se debe verificar que el area de Aa = (pi)*r^2

$A' = \sigma + \nu$ = $\pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \pi\frac{R^{2}}{2} = \pi r^{2}$ Qed.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 02:04

Esteban, si R=1, estamos de acuerdo que el area del terreno circular de la alfalfa debe ser $A=\pi$ y la mitad = $\frac{\pi}{2}=1.570796327$

Luego el area $\sigma$ debe dar este valor(estamos considerando R=1), veamoslo:

$r=\sqrt[2]{\frac{3}{2}}*1=1.224744871$

$\sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\langle (1.224744871)^{2}-1^{2}\rangle=1.570796327$
que es el area de la mitad del terreno circular que habiamos calculado mas atras. Y asi esta demostrado que concuerdan los resultados.

Responde

Ricardo

23/12/2009 02:18

Bien. La solución es buscar una cuerda (o cadena) lo bastante larga como para alcanzar todo el campo (círcunferencia). Luego, y aquí lo importante, antes de atar al pobre burro, colocar una valla que divida justamente por la mitad el campo.

Ahora bien, ¿cuán grande es el campo? Si el campo es muy grande no creo que el burro pueda con tanta alfalfa.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 02:26

Ricardo, la mitad de ese campo

Responde

Gatito cabroncete

23/12/2009 02:43

Supongamos que el burro está atado en el extremo inferior del círculo. Puesto que pide la mitad del área y hay simetría respecto a la línea vertical que cruza ambos centros, con radio de cuerda y radio de circunferencia , ¿No sería más sencillo buscar la solución a esta ecuación, ciñiéndose a la restricción de la mitad del área? Lo que si no me equivoco, equivale a despejar en esta ecuación: Basta con observar un poco para darse cuenta de que la mitad del área se obtendrá con . Por tanto, definiendo una recta perpendicular al eje vertical anterior que… Lee más »

Responde

Esteban

23/12/2009 04:40

Ty una pequeña pregunta

estas considerando solo el area que barre el burro desde un punto en el perimetro, es decir, la seccion circular de radio «r» o tambien estas teniendo en cuenta las dos secciones circulares que se forman y el burro las barre cuando la cuerda no esta totalmente tensionada??

Sin dibujo es complicado mostrar el punto de vista

Responde

Ramnic

23/12/2009 12:21

Podriais, por favor explicarme por que en la explicacion de Ty, $\sigma=\pi(r^2-R^2)$ es lo único que no entiendo.

Muchas gracias.

Responde

sive

23/12/2009 14:11

Ramnic, Ty ha «resuelto» el problema considerando que el punto al que está atado el burro puede moverse libremente por todo el perímetro del campo, de modo que el área al alcance del burro es una corona circular.

El enunciado, sin embargo, deja bien claro que se trata de un punto fijo, lo cual es muchísimo más complicado.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 14:24

Bueno, coincido que sin dibujo es algo dificil darme a entender, se me facilito por que pense en los terrenos como si fueran conjuntos, cuyos elementos estan »punto a punto», despues lleve ello al plano y aplique geometria.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 14:25

Si existiera una herramienta de dibujo rapido, alguno la ha visto en algun otro lado?

Responde

josejuan

23/12/2009 14:45

Hay una para compartir muy maja que está en

http://www.scriblink.com/

la pega es que no veo como poder publicar sin que el que lo reciba pueda modificar el dibujo (es que más que publicar es compartir la pizarra).

Pero seguro que hay otras, busquemos…

PD: aquí mi pizarra actual.

http://www.scriblink.com/index.jsp?act=phome&roomid=3035&KEY=3BBCE76BCCB6B418A989C63535747E54

Responde

josejuan

23/12/2009 14:47

Aquí hay otro que se puede hacer el dibujo público (sin que pueda ser editado)

http://www.dabbleboard.com/draw

Responde

Dani

23/12/2009 14:53

Ty, sive tiene razón, no es cuestión de dibujar. Creo que te has planteado mal el problema. La zona delimitada se construye de esta manera:

a) traza un círculo de radio $R$
b) elige un punto de su circumferencia y traza un círculo de radio $r$

ahora la cuestión es elegir $r$ relativo a $R$ de manera tal que el area común a los dos círculos sea la mitad del area total de $R$ (es decir, $\pi R ^2$ ) Como bien dijo Gatito es inmediato de la construcción la estimación $R < r < R \sqrt{2}$

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 15:30

Dani, asi lo he resuelto, el area delimitada, lo que he llamado la »interseccion» resulta ser justamente la mitad del terreno circular de alfalfa, echale un ojo al ejemplo numerico que he colocado mas atras.

Responde

Ty=Tobar

23/12/2009 15:31

la relacion de mi radio tambien cumple la desigualdad que ha dado Gatito

Responde

Dani

23/12/2009 16:46

Ty, si estas pensando en el dibujo que he descrito no es posible que afirmes que si llamamos (por seguir tu notación) a la intersección de los círculos (o area del círculo de alfalfa a la que llega el burro) sea, en tus propias palabras: «Analizando la interseccion de A’ y A, se ve numericamente que el area de la misma vale: » por qué no lo pintas (o nos lo pintas) con las herramientas que ha dejado josejuan y nos indiques como exactamente se ve esa igualdad (¿numéricamente?). En el ejemplo numérico que pones se comprueba (que no demuestra)… Lee más »

Responde

Dani

23/12/2009 17:08

aquí está dibujado:

http://www.dabbleboard.com/public?created=Guest243874&myid=0

Responde

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