Círculos iguales en un pentágono

Vuelven los problemas a Gaussianos. Hoy os traigo uno que propone nuestro amigo Ignacio Larrosa. Ahí va:

a) Determina el radio r de los seis círculos iguales de la siguiente figura:

b) ¿Y si el polígono tiene n lados? ¿A qué valor tiende r cuando n \rightarrow \infty?

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

29 Comentarios

  1. Está cada uno de los lados interiores de cada triángulo determinado por las diagonales del pentágono (si así fuera serían todos ellos isósceles)? Parece que sí por el dibujo pero no estoy seguro.

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    • Si dibujas un decágono regular y unes sus vértices con el centro obtendrás 10 triángulos idénticos a los contenidos en ese pentágono. Se trata de obtener el inradio de un triángulo isósceles del que conoces los ángulos(36º, 72º y 72º) y uno de los lados iguales

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  2. De momento GeoGebra me da la solución aproximada para el caso del pentágono: 38.2117º
    Ahora falta la solución exacta por métodos analíticos. De momento, se resiste.

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      • Podéis poner el procedimiento para que los aficionados lo podamos ver por favor.

        Gracias de antemano

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      • He llegado a la respuesta
        \frac{\sqrt{590\sqrt{5}+1350}-15-5\sqrt{5}}{2(40+16\sqrt{5})\sqrt{5-2\sqrt{5}}},
        que he introducido en Derive para su simplificación y ha dado
        \sqrt{\frac{5\sqrt{5}}{128} +\frac{17}{128} }- \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{128} + \frac{5}{128}}.
        Desde esta última se llega inmediatamente a la segunda respuesta publicada.

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        • Hola. Me salen números más pequeños, sin racionalizar, claro:
           \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{13-\sqrt{5}}}

          Estamos locos, las 2:55, jajajaja

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          • Si, es el mismo resultado, que hemos escrito ya de cuatro formas. Mañana publico mi solución.

  3. En relación a la segunda pregunta, una simulación en GeoGebra para n creciente, da valores crecientes para el radio que tienden a 0.5. Concretamente, para n=200 da radio\approx0.492.
    Conjetura: El valor límite del radio és \dfrac{1}{2} .
    Mañana enlazo el documento GeoGebra en què se puede visualizar y aproximar el problema para todos los polígonos desde 4 hasta 200 lados.

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    • Si hay n lados, el radio me sale (si no me he equivocado al pasarlo a latex):
      r=\frac{\frac{1}{2} \cdot cos\frac{\pi}{n}}{ sen \frac{\pi}{n} + \sqrt{1+sen^2\frac{\pi}{n}}}
      que tiende a \frac{1}{2}.

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      • Si, esa es la misma fórmula que obtengo yo, que racionalizada queda:
        \frac{1}{2} cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\left(\sqrt{1+ sen^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}-sen^2\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)  La solución puede verse en <a href="http://bit.ly/2KlkNJL" rel="nofollow">http://bit.ly/2KlkNJL</a> o <a href="https://ggbm.at/sht6sved" rel="nofollow">https://ggbm.at/sht6sved</a>. Quizás estaría bien incluir el applet en el post, DiAmOnD. la describo de todas formas.  Sea d la distancia del vértice interior al polígono de uno de los triángulos al punto de tangencia del íncírculo de este.   El perímetro de este triángulo es entonces [latex]2+2d , y su área Tr= (1+d)r.

        Para poner d en función de r, solo hay que ver que el ángulo del triángulo en ese vértice es \frac{2 \pi}{n} , por lo que d=r· cotg\left(\dfrac{\pi}{n}\right).

        El área del polígono es $Pol1=\frac{1}{4}n· cotg\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$, y la del polígono central $Pol2=n·r^2·tg\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$. Solo hay que igualar las áreas:

        Pol1 = Pol2 + n Tr

        De la fórmula obtenida se obtiene inmediatamente que el límite del radio es \frac{1}{2} , lo que también es evidente pensando que los lados de los triángulos se vuelven cada vez más paralelos según aumenta n.

        Para algunos valores de hay otras formas de resolverlo. Por ejemplo, para n = 4: http://bit.ly/2LBRE1l

        El Latex no queda muy bien …. pero se acaba el tiempo ….

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    • Utilizar las áreas y el perímetro de los triángulos simplifica mucho los cálculos, efectivamente. Muy bien al applet, Ramón, esta muy bien para trabajar con alumnos si se tuviera tiempo para estas cosas …
      mper23 llegas a la misma solución con ese planteamiento, aunque creo que es más lioso. Y efectivamente, Fermat hoy no tendría excusas …

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  4. Hola, viendo la solución de Ignacio en el applet, no entiendo como se haya el área de los triángulos a partir de d :/
    Y, tampoco llego a ver porque no podría darse que los triángulos sean isosceles, no veo la relación con que las 6 circunferencias no fueran idénticas.
    Un saludo, y gracias de antemano por las respuestas

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    • El área de los triángulos se calcula como el semiperímetro por el radio. Para hallar el semiperímetro, hay que tener en cuenta que las tangentes a una circunferencia desde un punto miden lo mismo. Entonces, en cada triángulo, la suma de distancias de los vértices del pentágono (o lo que sea), hasta los puntos de tangencia con la circunferencia, miden lo mismo que el lado del pentágono, 1. Por tanto el perímetro es 1 + 1 + 2d, por lo que el semiperímetro es 1 + d y el área, (1 + d)r.

      Las circunferencias tienen el mismo radio para un valor determinado del ángulo formado por el lado del polígono y el otro lado largo del triángulo. Si aumenta este ángulo, el radio de la interior disminuye y el de las exteriores aumenta, y viceversa si disminuye. Y para el caso del pentágono creo recordar que es un poco mayor, no mucho, que 36º, que sería lo preciso para que el triángulo fuera isósceles.

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    • Como he llegado muy tarde al descubrimiento de este blog y me considero un aficionadillo a las matemáticas he hurgado en el archivo y deseo hacer dos comentarios: 1.- El blog me parece excelente y de elevado nivel. 2.- El 25 de agosto de 2009 publicasteis una falacia geométrica que no llegué a dibujar con Autocad ( porque de Geogebra no tengo ni el programa. Lo resolví con una regla graduada con la que determiné los centros de las circunferencias y comprobé que la recta que une los centros no es paralela a la PS y ya está.

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  5. Una pregunta:
    ¿Por qué no hay un sólo círculo tangente en el dibujo con los demás círculos?

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  6. Respuesta parcial de b):
    Cuando el número de lados tiende a infinito, el polígono de convierte en un círculo.

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  7. Por lo dicho antes, el perímetro del polígono cuando {n \rightarrow \infty}, se convierte en un círculo cuyo perímetro pasa a ser de nL, a 2{\Pi}r.

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