Las matemáticas de los escutoides

Hace unos diez días salía a la luz una de las noticias científicas más importantes de los últimos tiempos: se había encontrado una nueva estructura geométrica relacionada con nuestras células: el escutoide (en inglés, scutoid). Era Nature el medio que la publicada con el artículo Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia, y con esta publicación se conocía que los responsables de este descubrimiento son un grupo de científicos españoles liderado por Luis María Escudero. Podéis ver los nombres y filiaciones de todos los colaboradores en el enlace anterior.

La noticia, como no podía ser de otra forma, corrió como la pólvora por multitud de medios de comunicación, tanto españoles como extranjeros. Al final de este artículo os dejo una serie de enlaces con los artículos que he encontrado en medios importantes de diversas partes del mundo.

Si echáis un ojo al grupo de trabajo liderado por Luisma, veréis dos nombres que seguro os son conocidos a los lectores habituales de este blog: Clara Grima y Alberto Márquez. Sí, dos de los matemáticos más importantes de España (y, por qué no decirlo, muy apreciados por mí) han formado parte del trabajo que ha llevado a este descubrimiento. Por ello, les pedí que escribieran una nota para Gaussianos en la que nos contaran algo más sobre las matemáticas de estos escutoides. Haciendo gala de su habitual generosidad, al día siguiente ya tenía en mi correo dicho texto. A continuación, podéis leer un interesante escrito sobre las matemáticas de los escutoides.

escutoides

Escutoides (fuente).


Si uno pone en Google (o en su buscador favorito) “escutoide” o “scutoid” puede encontrar ya miles de referencias. En todas se señala que se ha descubierto una forma geométrica nueva y que ésa es la forma que adoptan ciertas células. Cuatro de los firmantes ya hemos escrito en Naukas la crónica de cómo llegamos a dicha estructura. Aunque, como hemos dicho varias veces, el trabajo es realmente muy multidisciplinar (siendo la parte principal biológica y de simulación y teniendo un papel importante la justificación física), queremos aquí comentar los aspectos más matemáticos a la vez que agradecemos a Gaussianos la oportunidad de hacerlo.

Hace algún tiempo, Luisma Escudero nos propuso que intentáramos describir la estructura de las células que componen los distintos tejidos desde un punto de vista matemático. Ellos ya lo habían hecho en un caso muy simple (se puede decir que 2-dimensional) usando diagramas de Voronoi. Como no es el cometido principal de este artículo, sobre ellos sólo decir que dado un conjunto de puntos u objetos en el plano o en el espacio, cada región de Voronoi es el lugar geométrico de los puntos del plano o del espacio más cercanos a uno de los objetos. En cualquier caso, Clara habló de Voronoi aquí y aquí.

Se sabe que los diagramas de Voronoi reflejan la zona de influencia de puntos (u objetos). Y si hacemos crecer unos círculos al mismo ritmo a partir de puntos fijos del plano, se obtiene el diagrama de Voronoi de los centros de los círculos. Esto queda ilustrado en la siguiente figura, en la que se representan los círculos creciendo como conos con la misma apertura y vértices en los puntos a los que queremos calcular el diagrama de Voronoi:

Si miramos la figura desde arriba, vemos el diagrama de Voronoi:

Esto viene motivado porque se supone que cada círculo al crecer ejerce la misma “fuerza”. Ésta fue la idea que aprovecharon Luisma Escudero y algunos colaboradores para desarrollar el modelo de empaquetamiento de células en 2D al que nos hemos referido anteriormente (https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.15252/embj.201592374).

Sin embargo, dar el paso a estructuras tridimensionales no es trivial, ya que si se generaliza lo anterior se obtiene un diagrama de Voronoi 3D que no presenta una organización como la que se manifiesta en los tejidos epiteliales. Éstos son como una capa delimitada por dos superficies paralelas (denominadas superficies basal y apical), y las mismas células que aparecen en la basal se ven en la apical. Ello había llevado, hasta el momento, a representar las células de tejidos epiteliales como prismas o pirámides truncadas con una base en la superficie basal y otra en la apical. Sin embargo, ese modelo no se corresponde con la organización de las células en los tejidos epiteliales. Luisma y su grupo habían comprobado que las células que se tocan en cada una de las superficies no son las mismas y que los prismas son demasiado rígidos para admitir las curvaturas que presentan esos tejidos. Las dos son pegas importantes: la segunda porque no modelan bien desde el punto de vista geométrico; la primera porque es fundamental saber qué células están en contacto con otras desde el punto de vista de la biología.

Así que era necesario encontrar una forma geométrica que modelara bien las células de los tejidos epiteliales, que se pudiera plegar y adoptar distintas curvaturas, cuya forma correspondiera a un modelo de equilibrio de fuerzas (y por lo tanto que se pudiera representar com un diagrama de Voronoi) y que fuera desde la superficie basal hasta la apical, pero sin tener que tener los mismos contactos en ambas superficies.

Una primera propuesta por nuestra parte fue usar los prismatoides que habían permitido a Paco Santos la refutación de la conjetura de Hirsch, pero pronto vimos que no se ajustaban bien a algunas de las observaciones realizada por los biólogos. Así que llegamos a los escutoides.

¿Cómo definimos lo que es un escutoide? Para ello necesitamos algunos conceptos previos. En primer lugar, vamos a modelar los tejido epiteliales. Hacemos esto con una superficie, que va a representar la superficie basal, y mediante transporte paralelo definimos la superficie apical. El epitelio es toda la región comprendida entre ambas. El siguiente paso es definir unas “semillas”. Para ello, escogemos unos cuantos puntos aleatoriamente en la superficie basal y construimos, sobre esos puntos, los segmentos en la dirección de la normal en cada puntos que une las capas basal y apical. Cada uno de esos segmentos corta a las transformadas paralelas de la capa basal en un punto y ahora lo que hacemos es, para cada una de dichas transformadas paralelas, construir el diagrama de Voronoi de los puntos resultantes. No es un diagrama en el plano, sino en la superficie, pero nosotros conocíamos las herramientas (las habíamos desarrollado y recogido en un libro que habíamos escrito hace tiempo). Finalmente, para formar un escutoide unimos cada una de las regiones correspondientes a puntos del mismo segmento.

Si lo que buscamos es una descripción, aun sin ser simple, podemos decir que un escutoide es un sólido geométrico entre dos superficies paralelas tal que las restricciones a cada una de las superficies (y al resto de las superficies paralelas entre ellas) son polígonos (delimitados por geodésicas), y los vértices de estos dos polígonos están unidos por una curva o por una conexión en forma de Y. Las caras de los escutoides no son necesariamente convexas, por lo que varios escutoides pueden empaquetarse para llenar todo el espacio entre las dos superficies paralelas.

Una imagen del aspecto de los escutoides, y cómo se ensamblan, puede ser la siguiente:

Una de las claves era tratar de interpretar por qué a veces los vecinos de Voronoi de una célula eran los mismos en las superficies apical y basal y otras no. Entonces vimos que con nuestro modelo eso quedaba plenamente justificado y que se ajustaba a las observaciones que se habían hecho: si la superficie tenía las dos curvaturas principales iguales, se puede demostrar que los vecinos de Voronoi tienen que coincidir (esto ocurre para el plano y la esfera). Y cuanta más divergencia exista entre ambas curvaturas (en función del grosor del epitelio o distancia entre superficies), más cambios de vecinos hay. Además, esos cambios se producen en la dirección de la menor de las curvaturas. Todas estas predicciones se vieron confirmadas con las mediciones llevadas a cabo por el equipo de biología.

La referencia completa del artículo es:

Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia

Pedro Gómez-Gálvez, Pablo Vicente-Munuera, Antonio Tagua, Cristina Forja, Ana M. Castro, Marta Letrán, Andrea Valencia-Expósito, Clara Grima, Marina Bermúdez-Gallardo, Óscar Serrano-Pérez-Higueras, Florencia Cavodeassi, Sol Sotillos, María D. Martín-Bermudo, Alberto Márquez, Javier Buceta & Luis M. Escudero.

Nature Communications. Volume 9, Article number: 2960 (2018)

Nuestras filiaciones y el trabajo completo se pueden consultar aquí pero, básicamente, el estudio ha sido liderado por Luisma Escudero, del Departamento de Biología Celular de la Universidad de Sevilla e Instituto de Biomedicina de Sevilla, y su grupo de investigación; el análisis físico ha estado en las manos de Javier Buceta, de la Universidad de Lehigh; y Alberto Márquez y Clara Grima, también de la Universidad de Sevilla, hemos colaborado en la parte del modelo matemático.


Maravillosa historia, ¿verdad? Un caso más en el que se ve que la colaboración entre científicos es fundamental para el desarrollo de la ciencia, y un nuevo ejemplo de que en España tenemos grandes científicos que con apoyo puede hacer grandes cosas. Muchas gracias a todos los integrantes del grupo de trabajo por habernos descubierto esta nueva figura y todo lo que significa, y muchas gracias a Alberto y Clara por ayudarme a contarlo todo aquí.

Y un detalle final. ¿Por qué escutoide? Fijaos en Escudero, el apellido de Luisma. ¿Casualidad? Pues no. Según parece, la historia es la siguiente: escudero en latín es scutum, y por eso a Luisma comenzaron a llamarle escutoide. Cuando terminaron sus investigaciones, habían usado tanto ese mote que ya lo consideraban como un término oficial, por lo que al final nuestra nueva figura geométrica se quedó con ese nombre. En un descubrimiento como éste no podía faltar una anécdota así.


Y, ahora sí, esta entrada finaliza con una buena cantidad de enlaces en los que se habla sobre los escutoides:

En español:

En inglés:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Al decir : ” los vértices de estos dos polígonos están unidos por una curva o por una conexión en y” queda sin definir si la conexión en y es curva o recta. Nadie se ha dado cuenta de la indefinición ?
    Los polígonos de las caras paralelas son todos de lados n y n-1 , como parecen indicar los dibujos ?
    Está bien definida la nueva superficie?

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    • Tal como se dice en la entrada, esa no es la definición de escutoide, sino una descripción. La definición es mediante diagramas de Voronoi en superficies. El tipo de curvas o superficies que delimitan las caras dependen de la superficie inicial sobre la que se toma el escutoide, pero, básicamente, todas las caras (salvo algunas excepciones que sería complejo describir y que dependen de las curvaturas principales) son superficies no planas y las aristas que aparecen son intersecciones de dichas superficies y, por lo tanto, no suelen ser rectas.
      Finalmente, puede haber escutoides con polígonos de cualquier tamaño, aunque, por un conocido resultado de Euler sobre polígonos, traducido a teoría de grafos, la mayoría de los que aparecen son hexágonos y pentágonos.

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      • Hola Alberto, querría ver si me resuelves una duda, si tienes tiempo. La diferencia en el número de lados del polígono basal y apical del escutoide ¿es siempre 1? o ¿puede ser mayor, y aparecer más de una Y en los “laterales”?

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        • Hola Jordi, sí puede haber cualquier diferencia entre las dos tapas (incluso 0), pero para ello hace falta más de una Y lateral.

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  2. Enhorabuena por este importante descubrimiento a Clara y a todo el equipo. Me gustaría preguntar si para ese determinado entorno, es ésta la forma también más óptima desde un punto de vista matemático (quiero decir si tenemos el máximo espacio con la mínima superficie posible) o es la forma que la naturaleza ha encontrado y ha resultado útil. Muchas gracias, reitero mi enhorabuena y ya sabemos que la ciencia nos hace libres. Un saludo.

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    • Muchas gracias. Sí, en el artículo se demuestra que, desde el punto de vista físico, el escutoide es una solución que minimiza ciertas tensiones.

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