Hace ya bastante tiempo que hablamos sobre construcciones con regla y compás en una serie de cuatros artículos que enlazo a continuación:

Hasta fede nos mostró que podemos prescindir de la regla en este tipo de construcciones.

En el segundo artículo se hablaba de la imposibilidad de cuadrar un círculo, lo que significa que dado un círculo con área A, no podemos construir con regla y compás (con las normas clásicas de utilización de estos dos instrumentos) un cuadrado que también tenga área A (el hecho de que \pi sea trascendente es la base de este hecho).

Bien, no podemos cuadrar un círculo, pero sí podemos cuadrar muchas otras figuras, por ejemplo algunas lúnulas. En este artículo vamos a ver cómo cuadrar un rectángulo, es decir, cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un rectángulo dado. Al final del mismo podéis ver un applet de GeoGebra con la construcción que vamos a explicar.

Cómo cuadrar un rectángulo

Bien, como hemos comentado antes, vamos a explicar cómo construir con regla y compás un cuadrado del mismo área que un rectángulo dado.

Partimos entonces de un rectángulo ABCD. Dibujamos la recta r, recta a la que pertenece el lado CD, y después con centro en C y radio BC dibujamos un arco de circunferencia hacia fuera del rectángulo hasta cortar a la recta r. Ese punto de corte es el punto E.

Trazamos ahora el punto medio del segmento del segmento DE, que llamamos H, y con centro en este punto y radio DH trazamos la circunferencia p. Ahora representamos la recta perpendicular a r que pasa por los vértices B y C del rectángulo, a la que llamamos s. Esta recta s corta a la circunferencia p en dos puntos, I y J. Tomamos uno cualquiera de ellos, por ejemplo I, y ya tenemos el lado del cuadrado: CI. Ahora solamente queda dibujar un cuadrado con lado este segmento y ya tenemos cuadrado nuestro rectángulo inicial.

En la construcción que podéis ver a continuación aparece el rectángulo del que partimos, los puntos que aparecen en los pasos intermedios y el cuadrado final. Además se puede ver que sea cual sea la posición del rectángulo las áreas de las dos figuras son iguales:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


Bien, queda una cosa: demostrar este resultado. Pero esa es la parte más sencilla. Vamos a verlo:

Por la proposición 35 del Libro III de los Elementos de Euclides, se tiene que CD \cdot CE= CI \cdot CJ. Pero CI=CJ, y además CE=CB. Sustituyendo en la igualdad anterior tenemos que

CD \cdot CE=CI^2

Como la primera parte de la igualdad es el área del rectángulo (base por altura) y la segunda es el área del cuadrado (lado al cuadrado), tenemos demostrada nuestras construcción.

En esta página puede verse tanto la construcción anterior como la demostración que acabamos de dar.


¿Por qué publicar este artículo? Uhmmmm…¿debe haber un porqué? Pues en principio no tiene por qué haberlo…pero ahora sí lo hay. La cuadratura del rectángulo va a servirnos como paso intermedio en otro artículo que veremos más adelante. Paciencia…

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