Hace ya bastante tiempo que hablamos sobre construcciones con regla y compás en una serie de cuatros artículos que enlazo a continuación:
- Introducción y primeras construcciones
- Los problemas délicos
- Los polígonos regulares
- La construcción del heptadecágono
Hasta fede nos mostró que podemos prescindir de la regla en este tipo de construcciones.
En el segundo artículo se hablaba de la imposibilidad de cuadrar un círculo, lo que significa que dado un círculo con área , no podemos construir con regla y compás (con las normas clásicas de utilización de estos dos instrumentos) un cuadrado que también tenga área
(el hecho de que
sea trascendente es la base de este hecho).
Bien, no podemos cuadrar un círculo, pero sí podemos cuadrar muchas otras figuras, por ejemplo algunas lúnulas. En este artículo vamos a ver cómo cuadrar un rectángulo, es decir, cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un rectángulo dado. Al final del mismo podéis ver un applet de GeoGebra con la construcción que vamos a explicar.
Cómo cuadrar un rectángulo
Bien, como hemos comentado antes, vamos a explicar cómo construir con regla y compás un cuadrado del mismo área que un rectángulo dado.
Partimos entonces de un rectángulo . Dibujamos la recta
, recta a la que pertenece el lado
, y después con centro en
y radio
dibujamos un arco de circunferencia hacia fuera del rectángulo hasta cortar a la recta
. Ese punto de corte es el punto
.
Trazamos ahora el punto medio del segmento del segmento , que llamamos
, y con centro en este punto y radio
trazamos la circunferencia
. Ahora representamos la recta perpendicular a
que pasa por los vértices
y
del rectángulo, a la que llamamos
. Esta recta
corta a la circunferencia
en dos puntos,
y
. Tomamos uno cualquiera de ellos, por ejemplo
, y ya tenemos el lado del cuadrado:
. Ahora solamente queda dibujar un cuadrado con lado este segmento y ya tenemos cuadrado nuestro rectángulo inicial.
En la construcción que podéis ver a continuación aparece el rectángulo del que partimos, los puntos que aparecen en los pasos intermedios y el cuadrado final. Además se puede ver que sea cual sea la posición del rectángulo las áreas de las dos figuras son iguales:
Bien, queda una cosa: demostrar este resultado. Pero esa es la parte más sencilla. Vamos a verlo:
Por la proposición 35 del Libro III de los Elementos de Euclides, se tiene que
. Pero
, y además
. Sustituyendo en la igualdad anterior tenemos que
Como la primera parte de la igualdad es el área del rectángulo (base por altura) y la segunda es el área del cuadrado (lado al cuadrado), tenemos demostrada nuestras construcción.
En esta página puede verse tanto la construcción anterior como la demostración que acabamos de dar.
¿Por qué publicar este artículo? Uhmmmm…¿debe haber un porqué? Pues en principio no tiene por qué haberlo…pero ahora sí lo hay. La cuadratura del rectángulo va a servirnos como paso intermedio en otro artículo que veremos más adelante. Paciencia…
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Información Bitacoras.com…
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Sobre este tema se puede ver la proposición 14 del libro II de Euclides, con otra demostración.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14.html
En este enlace puede verse como hacerlo con
cortes, siendo q el cociente, mayor que 1 y no cuadrado entero, entre las dimensiones del rectángulo:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Rectangulo2Cuadrado.html
Gracias por el enlace Ignacio, está muy bien la construcción.
Me agradaron las explicaciones del proceso para lograr la cuadratura del rectángulo.Soy profesor de matemáticas en la secundaria, me he aficionado por la historia de las matemáticas y de la teoría de números, particularmente de las ternas pitagóricas, quisiera enviarles un tema sobre ternas pitagóricas para que lo analiceny decidan si se puede publicar es estas páginas de internet. Ahora le envío un modelo matematico que genera algunas ternas pitagóricas primitivas. Sea «n» un número natural. f(n)=2n^2+14n+49 Si n=5, entonces f(5)=50+70+49; luego la terna pitagórica es:(119,120,169) Estos modelos de ecuaciones funcionales son infinitos.como infinitas son las ternas pitagóricas que cada… Lee más »
Un trabajo parecido fue desarrollado por el matemático Apastamba en la india evidenciado en algunos salva-sutras o «reglas de la cuerda» que pudieron ser recuperados.
una ilustración de la construcción en el enlace
https://www.geogebra.org/m/GFT7HuCk
Me encanta esta construcción porque en ella aparecen la media aritmética y la geométrica relacionadas por el teorema de la altura. Además, es un método general para dibujar en la recta real las raíces cuadradas de los números naturales. Ahora, podré añadir que también permite cuadrar rectángulos. Gracias.