La topología diferencial es una rama de las Matemáticas complicada pero muy interesante. Probablemente la principal razón por lo que es complicada es porque trata temas poco intuitivos, difíciles de ver. Y bajo mi punto de vista puede llegar a ser interesante precisamente por la misma razón: nos demuestra que ciertas cosas que en principio creeríamos imposibles son matemáticamente ciertas.

El artículo que nos ocupa trata precisamente de uno de estos temas: la paradoja de Smale. Esta paradoja dice algo así:

Es posible evertir (dar la vuelta a) una esfera homeomorfa a \mathbb{S}^2 (es decir, una esfera en tres dimensiones, la de toda la vida) sin romperla. Es decir, partiendo de una esfera es posible transformarla en otra que cumple que la parte interior del borde de la primera es la exterior de la segunda, y viceversa, sin necesidad de efectuar ningún corte en la superficie de la misma.

Vamos, que podemos darle la vuelta a la superficie de una esfera sin tener que romperla.

Sorprendente, ¿no? Uno intenta pensar cómo puede ser el tema y no ve manera de hacerlo sin hacer algún corte. Como dije antes, no es nada intuitivo el asunto. Esa es la razón por la que se le llama paradoja: aun cuando físicamente parece imposible matemáticamente sí es posible.

Hemos dicho que no podemos cortar la esfera, pero sí podemos estirarla todo lo que queramos y además se permite que la esfera se interseque a sí misma. Teniendo en cuenta esto la primera opción que se nos podría ocurrir es empujar el hemisferio sur de la esfera hacia arriba para que atraviese el hemisferio norte, quedando entonces del revés. Pero esto no soluciona el tema, ya que la cosa quedaría más o menos así:

Intento de eversión

Como vemos no queda como nosotros queríamos. Obtenemos un saliente en el ecuador de la esfera que es imposible eliminar sin cortar la misma. Intento fallido.

Bueno, entonces…¿cómo se hace? Pues esta es una solución (para los impacientes, está en el 1:23):

Impresionante, ¿verdad? Yo me quede boquiabierto la primera vez que vi este vídeo.

Bueno, ¿y a quién se le ocurrió todo esto? Pues la primera persona que consiguió demostrar que se puede evertir una esfera fue Steve Smale en su tesis doctoral en 1957 El problema de su demostración (como de muchas otras) es que sólo era de existencia, esto es, sólo aseguraba que se podía hacer, pero no era constructiva. En 1961 se publicaba el primer método de construcción por parte de Arnold Shapiro y a mediados de los 70 William Thurston (¿os acordáis de la conjetura de geometrización?) daba un método distinto y más general.

De todas formas hemos dejado el asunto todavía en el aire. En el vídeo que aparece anteriormente se ve la eversión pero es cierto que no queda demasiado claro. En el vídeo que aparece a continuación se aclaran bastantes cosas. La explicación está bastante bien (está en inglés, pero es muy visual y se entiende más o menos; de todas formas si queréis el guión lo podéis encontrar aquí) y, entre otras cosas, explican por qué es imposible evertir la esfera \mathbb{S}^1 (es decir, una circunferencia en dos dimensiones) pero si es perfectamente factible hacerlo con \mathbb{S}^2. Aquí os lo dejo:

Y si todavía queréis más información, en The Optiverse podéis encontrarla. Tenéis imágenes, vídeos, explicaciones y respuesta a preguntas sobre el tema. El vídeo principal, The Optiverse, fue galardonado con el primer premio del VideoMath Festival, concurso de vídeos relacionados con las Matemáticas, organizado por el ICM’98, en Berlín. Muestra un nuevo método de la eversión de la esfera y sus creadores son John M. Sullivan, George Francis y Stuart Levy.

Y aún más. En este enlace podéis descargar un programa mediante el cual podéis ver la eversión de una esfera mediante el método de Thurston. Moviendo el ratón de izquierda a derecha y viceversa se ve cómo se pasa de un estado a otro; combinando con las teclas Alt y Shift podéis girar la esfera, acercarla o alejarla; y con otras combinaciones de teclas y ratón podéis ver la esfera desde dentro, quitarle trozos para verla mejor…Muy completo.

Para terminar, muchas gracias a La Singularidad Desnuda, que al publicar el otro día un post sobre el tema me recordó que yo tenía información sobre el mismo y me animó a hablar de ello.

Fuentes:

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