El problema de esta semana es una aportación que GNeras me mandó al mail hace mucho tiempo. Vamos con él:
Dos circunferencias son tangentes exteriores entre sí y a dos rectas perpendiculares como muestra la figura:
¿Cuál es el cociente de sus diámetros?
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Este problema es bastante sencillo ¿no? Incluso yo, que dejé de hacer matemáticas en segundo de BUP, creo poder resolverlo. Llamemos al círculo grande y al pequeño, sus radios siendo respectivamente y . Lo que nos interesa en este caso es la distancia del centro de a la intersección de las dos rectas. Dado que éstas forman un ángulo recto, se puede crear un cuadrado cuyo lado sea . Una vez hecho esto, es simplemente la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud . Es decir. Una vez que sabemos esto, el diámetro de (es decir, ) es… Lee más »
(1+sen45)/(1-sen45)
Hola. Antes que nada, perdón por cómo voy a escribir lo que creo que es la respuesta, pues no sé escribir en LaTeX. Primero, las dos circumferencias se puede escribir como: c1 -> (x – r1)^2 + (y – r1)^2 = r1^2 (la pequeña) c2 -> (x – r2)^2 + (y – r2)^2 = r2^2 (la pequeña) Ahora, estamos buscamos el punto donde se unen. En las dos circumferencias, el punto donde se une tiene la característica que: x1 = y1 x2 = y2 Por tanto, busquémos primero x1: (x1 – r1)^2 + (x1 – r1)^2 = r1^2 2*(x1^2 –… Lee más »
Sean
y 
los radios de los círculos, respectivamente del pequeño y del grande. La distancia entre centros es 
. La distancia horizontal (y la vertical) entre ambos centros es 
. Por pitágoras se tiene que 
, de lo que se deduce que 
.
Sea la primera una circunferencia de diametro 1. Suponemos que la 2ª circunferencia tiene relacion de diametros k. Si seguimos construyendo circunferencias, cada una mantendra la relacion k con la anterior. La suma de todos los diametros es la longitud desde el vertice desde el origen hasta el punto (x,x) de la 1ª circunferencia mas alejado del origen. Si la primera circunferencia es de diametro 1, el radio es 0,5. Asi que (x-0,5)^2+(x-0,5)^2=0,25=> 2*(x^2-x+0,25)=0,25 => 2x^2-2x+0,25=0 => x=(2+raiz(2))/4. Por tanto la suma de longitudes de diametros sera la diagonal del cuadrado formado por los puntos (0,0), (0,x), (x,0) y (x,x).… Lee más »
A ver mi solución.
La hipotenusa del cuadrado formado por los radios del círculo grande + las rectas es
a sqrt(2)=a + b + b sqrt(2)
Luego a/b = 3+2 sqrt(2)=5.82
Estoy con Belen. (en sentido figurado claro…) jaja.
Llamamos r al radio de la circunferencia mayor.
Con el triángulo cuyos catetos son r y cuya hipotenusa es r más el diámetro de la circunferencia menor, por el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa:
Ahora calculamos el diámetro de la circunferencia menor (d), sabiendo que lo anteriormente calculado es
Finalmente el cociente de los diámetros queda:
Despidiendo las letras nos queda que el cociente es:
Llamamos r al radio de la circunferencia mayor.
Con el triángulo cuyos catetos son r y cuya hipotenusa es r más el diámetro de la circunferencia menor, por el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa:
Ahora calculamos el diámetro de la circunferencia menor (d), sabiendo que lo anteriormente calculado es
Finalmente el cociente de los diámetros queda:
Despidiendo las letras nos queda que el cociente es:
Cuidado, el cociente no es la razón.
Éste uno de los atractivos de las matemáticas: Llegar a la misma conclusion desde de diferentes puntos de partida.
El cociente es 5.
A mi me ha dado lo mismo que Jorge por consideraciones geometricas y aplicando un par de veces Pitágoras.
Que curioso que haya tantas respuestas distintas. ¿Puede aclararnos el jefazo cuál es la correcta?
Espero que el siguiente croquis (por tiempo limitado) aclare las cosas: http://es.geocities.com/soidsenatas/croquis.png
El resultado al que he llegado antes también coincide con Belén y Jorge:
(1 + sqrt(0′5))/(1 – sqrt(0′5)) = 5’828
Saludos, 🙂
Oriol.
Hola,
el resultado 4.82 es incorrecto y el problema es asumir que, para el cuadrado de base R y altura R, la diagonal es R+2r. En realidad la diagonal es un poquito más larga,
, ya que el radio de la circunferencia pequeña no llega al punto (0,0):
sino
a mi me da suponiendo que el radio de la circunferencia superior es 4( ya se que el resultado es el mismo dando el valor que sea al radio):
8/1,6568=4,8236
Si el radio es igual a 8:
R=8
la hipotenusa del cuadrado grande es: (considerando el centro de la circunferencia grande + ejes)
H=8*sqrt(2) (Pitágoras)
la hipotenusa del cuadrado pequeño es: (considerando el centro de la circunferencia pequeña + ejes)
h=r*sqrt(2)
Entonces
H=r+R+h
8*sqrt(2)=r*sqrt(2)+r+8
De donde r=1.37
y R/r = 5.82
La mejor forma sería con un croquis, pero no sé como insertarlo.
La razón de diámetros es igual al cuadrado de ( 1 + raíz de 2).
Es decir R/r = (1 + sqrt(2))^2 = 5.82842712474619…
Actualizo el croquis:
http://es.geocities.com/soidsenatas/croquis2.png
La hipotenusa del triángulo es el segmento unión de los centros de los círculos. La ecuación indicada no es más que aplicar Pitágoras. Al simplificarla, se obtiene el valor
.
Hice todas las cuentas mentalmente por falta de ganas de buscar papel y lapiz, pero llego como varios a
Espero haber cometido un numero par de errores 😀
1+cos(45º)
~=1.707
Estoy con los que han dicho que el resultado es
que simplificando:
3 + (2*sqrt(2)) = (1 + sqrt(2))^2
Tomando un cuadrado que pase por los centros de los dos círculos, tendríamos que:
Hipotenusa=r+R
Lado=R-r
Cos(45)=sqr(2)/2=(R-r)/(R+r)
Despejando:
R/r=[sqr(2)/2+1]/[1-sqr(2)/2]=5,828
r/R=0,172
Un modelo geométrico de la razón de diámetros: Se considera que el diámetro del círculo menor vale 1. Se traza un recta a 45 grados que atraviese los 2 círculos. Luego se traza una recta tangente a los 2 círculos y perpendicular a la anterior. El punto más cercano al origen que pertenece a la recta de diámetros y al círculo menor se llama A. El punto común a los 2 círculos se llama B. Sobre el diámetro mayor se traza un punto C tal que AB = BC. A partir del punto C se traza un segmento paralelo a… Lee más »
Los puntos C y E se hallan trazando un arco desde A centrado en B.
DiAmOnD:
La construcción geométrica que acabo de describir sirve como base para resolver otro problema que comienza unicamente con la figura de una círculo y termina teniendo las mismas figuras que aparecen en el encabezamiento de este post:
«Dado un círculo de diámetro AB hallar otro círculo tangente al primero de díametro BD de tal forma que 2 rectas tangentes a los 2 círculos sean perpendiculares entre sí. ¿Cuál es la razón de sus diámetros?».
Estoy de acuerdo con Jose
jose – 4 de March de 2008 16:09
¿ cabría una tercera circunferencia entre las dos originales del problema y el eje X ? (de forma que esa tercera circunferencia fuese tangente a las otras dos y al eje X) Si cabe ¿ cuales son su centro y radio ? si no cabe ¿ como podria demostrarse ?
¿parece un problema facilillo no? tomemos al radio mayor de valor 1. llamemos a la distancia que falta desde la cca. hasta la interseccion de las 2 rectas y r al radio pequeño. entonces tenemos que 2 veces el radio pequeño mas x es igual a a la raiz de 2 menos 1. por otro lado por el teorema de tales tenemos que 1 partido por la raiz de 2 menos 1 es igual a r/r + x. es un sencillo sistema de dos ecuaciones con 2 incognitas que podemos resolver por reduccion y me sale finalmente que la razon… Lee más »
Siempre cabe, cua, pues tres puntos determinan una circunferencia.
hace tiempo que intento resover este problema, pero siempre me lio entre cosenos y senos:
determinar las dimensiones de un triangulo cuyas medidas de los lados son numeros enteros consecutivos y el angulo mayor es el doble del menor.
Bueno yo lo hice asi. R : radio mayor r : radio menor k = r/R Podemos hacer una tercera circunferencia de radio r’ tangente a las dos rectas y a la circunferencia de radio r, la cual tendrá radio r’ = kr = (k^2)R. Asi podemos seguir haciendo circunferencias, las cuales tendran los radios: r» = kr’ = (k^2)r = (k^3)R r»’ = (k^4)R … En el limite la suma del radio R con los diametros de las otras circunferencias es igual a la diagonal del cuadrado de lado R. R*raiz(2) = R + 2r + 2r’ + 2r»… Lee más »
Omar-P : efectivamente cualquier terna de puntos está incluida en una única circunferencia, pero además en mi post anterior se plantea un problema en el que se pide que es anueva circunferencia sea tangente, y no todas las ternas de puntos llevan a una esfera tangente (a las otras dos y al eje). De todas formas, hay una demostración muy sencilla de que existe una solución y es única. Además, creo que esa demostración se puede extender, y en todos los huecos que quedan se pueden poner más esferas con el mismo procedimiento, y en los nuevos huecos, etc…. así… Lee más »
ahora que lo pienso, se pueden cubrir completamente los dos huecos que quedan, usando infinitas esferas.
Cua, dije que hay 3 puntos que determinan una circunferencia en respuesta a tu pregunta sobre si cabría o no cabría una tercera circunferencia (Ver comentario 09/03/2008 20:55).
Omar-P: efectivamente, eso fue lo que entendi. En mi respuesta a las 10:35 del 10 de marzo, lo que digo es que no solo se pide que la nueva circunferencia simplemente quepa en el hueco , sino que además sea tangente a las otras dos y al eje, y eso implica (si no me equivoco, que puede ser) que la respuesta no sea, en mi opinion, «trivial», en el sentido de que no es suficiente para resolver el problema decir simplemente que tres puntos definen una circunferencia. Hay que encontrar esos tres puntos y demostrar que la circunferencia que pasa… Lee más »
Pensar que la tercera circunferencia pudiese no ser tangente a las otras dos y al eje x es un despropósito pues eso quedo claramente expresado en el planteo del problema. Los 3 puntos que mencioné son los únicos puntos de contacto entre la tercera circunferencia con las otras dos y con el eje x.
de acuerdo Omar-P, creo que te habia entendido mal, perdona.
Aclarado el punto, cua, te digo que los problemas que has planteado me resultan muy interesantes…
Omarp: conjeturo que lo huecos se pueden rellenar completamente con infinitas esferas, pues dado cualquier punto en un hueco, siempre podemos añadir más y más esferas (cada vez más pequeñas) hasta llegar a cubrir ese punto, luego en el límite se cubren todos los puntos. Desde luego, esto no es nada formal, y es posible que se me escape algo. Para empezar, no he hecho ninguna revision de bibliografía relacionada.
Creo entender, cua, que en el comentario del 10/03/08 10:35, cuando dices esferas quieres decir circunferencias y que en el comentario del 11/03/2008 19:59, cuando dices esferas quieres decir círculos.
Omar-P: efectivamente. Por cierto, hay mucha bibliografía sobre ‘packing’ de un numero finito de círculos (discos) de igual tamaño, pero no veo tanto de distinto tamaño.
Pienso que nunca se podrá tapar todos los huecos con círculos, pues por cada círculo que se agrega aparecen 2 nuevos huecos.
Omar: Efectivamente, cada circulo cubre parte de un hueco y crea tres huecos (hay dos huecos más). Los 3 huecos se cubren (parcialmente) con 3 discos, que producen 9 huecos que se cubren con 9 discos mas pequeños, que producen 27 huecos huecos…. y así indefinidamente. A cada paso se añaden el triple de circulos que en el anterior, y el área que queda por cubrir se reduce en un porcentaje que (creo) es fijo. Por tanto, el área por cubrir va disminuyendo y tiende a cero, y el área de los circulos va creciendo y tiende a ser el… Lee más »
La conjetura de la posibilidad de cubrir todos los huecos con círculos es falsa porque cada círculo que se agrega solo cubre el hueco parcialmente.
Yo estoy con cua, ¿puedes darnos, si no, Omar-P, un punto del área inicial que alguna circunferencia no vaya a cubrir?
Recordemos que disponemos de infitos círculos…
Interesante polémica se ha abierto en Gaussianos.