El problema de esta semana consiste en calcular una integral que ha enviado José Guillermo al correo del blog gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Al parecer es una integral que apareció en un maratón de integrales de México. Ahí va:
Calcula la siguiente integral:
Que se os dé bien.
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![\displaystyle{\int \cfrac{e^x}{x} \left [ \int_1^{x^2} \cfrac{e^t}{t} dt \right ] dx}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cint+%5Ccfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5Cleft+%5B+%5Cint_1%5E%7Bx%5E2%7D+%5Ccfrac%7Be%5Et%7D%7Bt%7D+dt+%5Cright+%5D+dx%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\int \cfrac{e^x}{x} \left [ \int_1^{x^2} \cfrac{e^t}{t} dt \right ] dx}")
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Lo más que han podido hacer mis oxidados engranajes es
aunque supongo que se está pidiendo eliminar el término integral (i.e. Ei(-x)).
No obstante, si mi expresión está bien (cosa rara), sirve pa’funcionar (es evaluable).
Por cierto, aunque no se indica, la x es real ¿no?.
M, Dani, Américo Tavares, Ty=Tobar, etc, etc… Por favor, ¿dónde estáis cuándo se os necesita? Llevamos una semana comprobando nuestro escaso nivel matemático… ¡Socorroooo!
Por cierto, no hemos incluido a josejuan porque él ya ha dado una ¿respuesta? de la que no hemos entendido absolutamente nada.
Lo que he hecho ha sido reducir esa integral a una que utiliza la Integral Exponencial
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_exponencial
como digo, no creo que sea la solución buscada, pero al menos es evaluable (al menos, en la medida de lo que es Ei).
Para dicha función (Ei) más detalles (e.g. gráfica en el eje negativo) en
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/
hmm josejuan y no podrias explicar todo paso por paso(para aprender pues 🙂 )
Primero resolvemos la integral
usando el desarrollo en serie de Taylor de
.
Entonces,![\int {e^x \over x} \big [\int_{1}^{x^2} {e^t \over t} \, dt\big ] dx=2\int {e^x \over x}lnx \, dx+\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}{e^x \over x}\, dx-\int\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}{e^x \over x}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cint++%7Be%5Ex+%5Cover+x%7D+%5Cbig+%5B%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%5E2%7D++%7Be%5Et+%5Cover+t%7D+%5C%2C+dt%5Cbig+%5D+dx%3D2%5Cint++%7Be%5Ex+%5Cover+x%7Dlnx+%5C%2C+dx%2B%5Cint%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%7Bx%5E%7B2n%7D+%5Cover+nn%21%7D%7Be%5Ex+%5Cover+x%7D%5C%2C+dx-%5Cint%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%7B1+%5Cover+nn%21%7D%7Be%5Ex+%5Cover+x%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\int {e^x \over x} \big [\int_{1}^{x^2} {e^t \over t} \, dt\big ] dx=2\int {e^x \over x}lnx \, dx+\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}{e^x \over x}\, dx-\int\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}{e^x \over x}")
Sean
Se resuelve por partes
siendo u=lnx y dv=
, de donde du=
y v=
Las integrales de la forma
se pueden resolver por recurrencia. Integrando por partes se obtiene:
Llamando
y repitiendo la integración por partes:
donde
Para obtener
se sustituye 2n-1 por n en el anterior resultado.
Para calcular
se usa que
Por último, se sustituyen
en la integral.
LOL, pense que se podria hacer si usar series de taylor, se puede hacer si usarlas??, de hecho es mucha mas genial hacerla si usar aproximaciones.
la verdad es que he intentado varias cosas y no me ha salido nada :S
Dani, pero cierto que lo has intentado si usar series de taylor?, sera que sale sin usar este metodo?
Dani, pero cierto que lo has intentado sin usar series de taylor?, sera que sale sin usar este metodo?
Para Zenobia, no es cierto en general que la integral de una serie sea la serie de las integrales (estás cambiando el orden de dos límites), hace falta usar un teorema de paso al límite bajo el signo de la integral.
Quizás se podría solventar usando integrales de Lebesgue y el teorema de la convergencia dominada http://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem
y después el hecho de que si la integral de Riemann y la de Lebesgue existen, entonces coinciden.
Hola a todos, hemos estado castilla y yo 🙂 pegándonos con la integral. Después de bastantes intentos hemos pensado que podría estar mal escrita, y efectivamente, en la página web http://www.ccm.itesm.mx/dia2007/archivos/5.ejemplosdeintegrales.pdf de las maratones de integrales de México aparece la integral . Después de darle unas cuantas vueltas, hemos concluido que sólo se puede escribir esta integral en términos de la integral exponencial . Lo podéis ver integrando por partes o bien como una integral doble si convertimos la integral indefinida en definida fijando la constante de integración, . Hacemos el cambio y queda . Esta es la integral en… Lee más »
Es cierto que en general no se cumple que la integral de una serie sea la serie de las integrales, pero para una función definida por una serie de potencias con radio de convergencia R>0, ésta funcion es continua, derivable e integrable en el intervalo (c-R, C+R), y tanto su derivada como su primitiva pueden calcularse derivando e integrando cada término de la serie. En este sentido se comportaría como si fuese un polinomio. Además, el radio de convergencia de la serie obtenida es el mismo que el de la serie original. La serie de potencias definida para la exponencial… Lee más »
Mmmm… estoy intentando calcular la integral definida (la de dentro) por el Teorema de los Residuos, ya que sólo tiene un polo simple en z=0. Me falta encontrar la región de integración.
Supongo que la integral exterior es indefinida y no definida en toda la recta real.
Cristóbal: no creo que valga la pena invertir más tiempo en eso, la integral de adentro es simplemente
(integral exponencial) y no se puede esperar simplificarla mucho más. El planteo del problema hacía pensar que, a pesar de eso, la integral doble pudiera expresarse de una manera más simple (con sólo funciones elementales) – pero no parece posible. Creo que el comentario de leon es terminante.
Corrijo: la integral de adentro es
@hernan->Pero si eso es así entonces que alguien cambie el enunciado. De todas formas he hecho los cálculos de Zenobia y son correctos, aunque sale una buena «longaniza» de solución. Además habría que calcular las series de su solución. Definitivamente así es muy difícil incluso para una olimpiada.
Gracias 🙂
Si todo está bien, ese desarrollo en series sería simplemente equivalente a expresar la solución de leon reemplazando la función Ei por su <a href=»http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral#Convergent_series«>serie de Taylor</a>. Me temo que eso no aporta demasiado.
[…] Calculando la integral […]
Si la integral es como la plantea leon, entonces se llega a su resultado pero sin necesidad de hacer cambio de variables: basta observar que, salvo por un factor 1/2, el cociente $e^(x^2)/x$ es la derivada de $Ei(x^2)-Ei(1)$, la integral entre corchetes.