Los números irracionales son los números reales que no pueden expresarse en forma de fracción. Por tanto estos números tienen infinitos decimales en los cuales no hay un patrón que se repita indefinidamente. A partir de esta definición uno podría pensar que por norma general un número irracional no presentaría patrones de tipo racional en sus, digamos, cien primeros dígitos. Si consideráramos esos supuestos patrones como rayas los números irracionales que tuvieran esa propiedad serían los que denominaríamos números irracionales cebra.
Pues los hay, claro que sí. Vamos a ver algunos de ellos:
![\sqrt[3]{\cfrac{7^3 \cdot 10^{51} +7^5}{11^3}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccfrac%7B7%5E3+%5Ccdot+10%5E%7B51%7D+%2B7%5E5%7D%7B11%5E3%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[3]{\cfrac{7^3 \cdot 10^{51} +7^5}{11^3}}")
cuyo desarrollo es el siguiente:
y continúa sin presentar ningún otro patrón más en los siguientes dígitos.
en cuyo desarrollo se repiten los patrones 
2307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\ 30769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
2307692307692307692307692307692307692307692307692,30769230769230769230769230769\
230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769\
23076923076880192307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692\
307692307692267845352564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
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102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564102564\
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296296296296296296296296296295848784960867828340159069325735992402659069325735\
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659069325735992402659069325735992401411631478229137974926549145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299145299\
145299145299145299145299145299145299145295502483621567819214350213427904400126\
622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015\
511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682177904\
400126622348844571066793289015511237733459955682177904400126622348844571066793\
289015511237733459955682177904400126622348844571066793289015511237733459955682\
177904400126622348844571066793289015511237733448955138216136572710142188954230\
060277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018254721\
958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166402870\
106573810277513981217684921388625092328796032499736203439907143610847314551018\
254721958425662129365833069536773240476944180647884351588055291758995462699166\
402870106573810277513981217684921388625092328796032465665074224987344807026819\
335100970652266305558486628445476182101696504988686058644906381531895…
Otro irracional cebra es el siguiente:
en cuyo desarrollo podemos ver repeticiones de 
37499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
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749999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
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565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787379\
972565157750342935528120713305898491083676268861454046639231824417009602194787\
379972565157750342935528120713305898491032205313523108387418797769921815462581\
92348727328151196463953665599756134735558603871361073007…
Y los que a mí me parecen más sorprendentes, los generados por la siguiente fórmula:
Por ejemplo, 
Aumentando el valor de 
Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.
Fuente: Las Matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover
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Si
es racional periódico y 
es irracional, el número 
sería uno de esos números, pues cambiamos la expresión decimal sólo a partir del dígito 
.
Así es, robiño, concretamente
puede ser la suma de distintos racionales no periódicos, con lo cual obtenemos los distintos patrones que queramos y con los dígitos que queramos.
No soy matematico xD, pero puesto que los numeros irracionales tienen infinitos decimales, se supone que TODOS los patrones posibles se repetiran en los decimales alguna vez ¿no?
Entonces podriamos decir que cualquier numero irracional tiene infinitos patrones cebra en sus decimales 🙂
Es mas, podemos decir que en cualquiera de ellos se repite la secuencia de numeros equivalentes al codigo ascii de «El Quijote» cien veces seguidas, jejeje… Que majo el infinito 🙂
Aun asi, muy ilustrativos los ejemplos xD
Salu2
…por supuesto ya se que el caso se refiere a los 100 primeros digitos… 😉
Aun asi, si fuera posible encontrar una funcion para que los 10000 primero digitos por ejemplo fueran unos determinados, seria un sistema estupendo de compresion de datos…
Claro que seguramente la formula fuera mas larga que los propios datos xD
Salu2
«Os animo desde aquí a que intentéis encontrar números irracionales cebra distintos a éstos. Y si puede ser alguna fórmula para generarlos como la anterior mucho mejor.»
jeje Pues no pides nada… 😛
De todos modos, siempre son curiosos estos «divertimentos» matemáticos!
mangu, el que un número irracional tenga infinitos decimales no es garantía de que un patrón vaya a aparecer. Si el número es normal (dígitos equiprobables) aparecerá pero si no, no tenemos la garantía.
me sorprende ver tantos numeros!!
mangu lleva razón. Al tratarse de un número irracional, cualquier cadena de dígitos que se imagine (por ejemplo cien veces el texto de El Quijote en binario) aparecerá en un momento dado.
Se supone que si son infinitos, habra infinitas combinaciones, y un patron por raro y poco probable que sea siempre aparecera en un numero infinito de posibilidades…
Otra cosa es que los decimales no incluyan alguna cifra nunca, o que sea siempre un mismo patron repitiendose, pero entonces creo que ya no seria irracional, ¿no?
Salu2
Mira mangu, te voy a poner un contraejemplo, aunque no responda de forma directa a tu pregunta.
Si representamos sobre una recta, en la se ha marcado un punto origen, todos los números reales. Entonces entre dos números racionales infinitamente próximos, existen infinitos números racionales.
No obstante tanto infinito, la probabilidad de que al sacar al azar un punto de la recta, sea un número racional es CERO.
robiño, mangu: el número 0,101001000100001000001… es irracional pero nunca vais a encontrar 11 en los decimales.
En realidad, que un número tenga infinitas cifras no significa en absoluto que contenga todos los patrones posibles de ellas. Son cosas diferentes.
Por ejemplo, 0,12034005600078000090000012000000340000000… es un número irracional de infinitas cifras en el que jamás encontraremos secuencias de más de dos cifras distintas de cero.
Cuando una ecuación tiene infinitas soluciones eso no significa que cualquier número que se nos ocurra sea automáticamente solución.
O, simplificando mucho, aunque tuviéramos un conjunto de infinitas monedas europeas NUNCA encontraríamos un dólar en ellas.
un numero es racional SI Y SOLO su desarrollo decimal es periodico a partir de un cierto rango. i.e
con a y b enteros
Asier tiene razon: el número 0,101001000100001000001… no solamente es irracional, es mucho peor: es trascendente.
Saludos
Esos casos no dejan de tener un patron, yo me referia a los que no lo tienen, como digo mas arriba…Digitos equiprobables com odice Asier… Me parecia divertido que en estos numeros se repitiera cualquier patron (obviamente no los 100 primeros digitos) infinitamente, por lo que podemos decir que cualquier patron, sean digitos «cebra», o incluso los decimales (¿completos? xD) de otro numero racional de cualquier tipo incluso transcendente (pi, por ejemplo) aparezcan en los decimales de uno solo xD ¿Es correcto decir que un numero de decimales infinito contenga una secuencia infinita de numeros? Eso si, se agradece la… Lee más »
…O dicho de otra manera…
(Ya he dicho que no soy matematico xD)
¿Es correcto decir que entre los infinitos decimales de «e» estan incluidos en orden correcto los infinitos decimales de «pi»?
Quizas es rizar el rizo, no se xD
Sobre la teoria matematica en lo que respecta al infinito y los irracionales no se mucho, pero parece cuanto menos divertido.
SAlu2
jaja, tranky muchachos, tomen un café, pero por un rato dejen de pensar..
mangu, aunque no ibas mal encaminado, hay que precisar un poco las cosas ya que no valen cadenas infinitas de dígitos. Lo que sí se puede probar (y no es difícil) es lo siguiente:
«En [
) (o en 
) existe un subconjunto 
de medida nula, de tal modo que para cada 
y para cada 
, el desarrollo decimal del número 
contiene todas las 
secuencias que se pueden formar con 
dígitos.»
Y para dichos números sí se puede encontrar el Quijote entero las veces seguidas que quieras (en cantidad finita)
Una cuestión interesante: Sabemos que si los decimales de PI siguieran una distribución normal, podríamos afirmar que cualquier combinación de digitos aparecerá PERO ¿es cierta la inversa? es decir, si PI tiene cualquier secuencia de dígitos en sus infinitos decimales, ¿ha de seguir necesariamente una distribución normal?
En una sucesión de números puramente aleatoria, el número de veces que aparece cada dígito debe ser regular.
Si encontráramos un dígito que se repitiera más que los otros en una magnitud apreciable, ya no sería puramente aleatoria.
La inversa no es cierta, Agustín. Imagina un número irracional construido de la siguiente manera: desde
hasta infinito, los decimales van a ser éstos: las 
secuencias que se pueden formar con 
dígitos seguidos de 
ceros. Este número irracional contiene cualquier secuencia de dígitos pero la probabildad del cero es mayor de 0,5.
Está interesante el tema pero quisiera colar un paréntesis. Me llama la atención lo sensibles que somos a la apariencia de las cosas, como a la apariencia de un número, por ejemplo. Quiero decir que un número en base 10 tiene una apariencia, pero en otra base menos antropomórfica que la 10 (o menos chauvinista, que diría Sagan), puede tener otra muy distinta, o bien sosísima o bien maravillosa. Como el culto a las apariencias no me gusta nada, y me disgusta que nos valoremos en función del logotipo que llevemos cosido en la gorra, reivindico amigablemente que recordemos que… Lee más »
Cuidado, Agustin y Asier. Supongo que cuando os referis a a una distribución «normal», deberíais decir una distribución «uniforme», ¿no?. Si cada posible decimal de «pi» o de «e» tienen la misma probabilidad de aparecer, entonces siguen una distribución uniforme, no normal.
Oscar, creo que vas a disfrutar con este artículo de Tío Petros, si es que no lo conocías ya:
http://tiopetrus.blogia.com/2006/110601-el-zoo-de-las-bases-de-numeracion.php
Benet, efectivamente nos referimos a una distribución uniforme. He buscado y al parecer en castellano ‘normal’ no tiene esa acepción y creo que la usamos tomada del inglés, donde ‘normal number’ sí significa ‘número real con distribución uniforme de sus dígitos’:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number
En base infinita los números tienen un dígito.
[…] Gaussianos » Números irracionales cebra * 0 puntos, 0 […]
Pero… esto depende de la base de representación, ¿no? ¿Se puede asegurar que un «número cebra» en base 10, lo es también en base 3, 6, 17, o cualquiera?
Delicioso el paseo con el tío petros. Le conocía por el libro, pero no sabía lo del blog. Creo que una vida no es suficiente para disfrutar de todo esto. Por cierto, aprovecho para una consulta: un amigo mío aeronáutico, muy forofo de la física y de toda ciencia «aplicada» dice que esto de emocionarse con los números es perder el tiempo, porque no es «real», lo ve como inventarse sudokus para luego entretenerse con las propiedades artificiales que de ellos se deriven. Como yo tampoco sé mucho del tema, no sé explicarle la razón de qué a mí sí… Lee más »
Gracias Asier por la respuesta y a Benet por la aclaración. Para Oscar, en mi modesta opinión, creo que se plantea una cuestión filosófica difícil de contestar… y me recuerda una anécdota del genial ajedrecista Alekhine. Estando reunido con algunos colegas suyos en Buenos Aires dijo que su vida había sido una frustración a lo que el Gran Maestro Roberto Grau replicó: – Pero, maestro, usted es campeón del mundo. – Si, asi es, pero el ajedrez es solo un juego. La inmediata sería decir que la matemática sí tiene aplicaciones importantes, que incluso la Teoría de números tiene aplicaciones… Lee más »
Oscar, desde que el hombre es hombre siempre ha tratado de comprender como funciona el universo. Para ello ha utilizado su más preciada creación intelectual, que es la ciencia y su método. Con la tecnología podemos construir cosas muy útiles para la vida cotidiana, pero no puede existir progreso tecncológico si no existe la ciencia aplicada. Las ciencias aplicadas se apoyan y se nutren de las ciencias básicas. Sin ciencia básica no hay ciencia aplicada. Sabemos también que las ciencias en general se apoyan en los modelos que funcionan gracias a la matemática y la reina de la matemática es… Lee más »
Agustín Morales, creo que podríamos recordar una frase de C.G.J. Jacobi en una carta enviada a Legrenge en julio de 1830:
«La finalidad única de la ciencia es la de rendir honor al espíritu humano».
hola
Oscar también podrías hablarle a tu amigo aeronáutico el uso cotidiano (e impagable) que se da actualmente en internet a algunos de esos juegos con números que eran aparentemente inútiles hace nada, y que nos han proporcionado privacidad en nuestras comunicaciones, seguridad en las transacciones online, firmas digitales…
¡Pero si se saca provecho hasta de los problemas matemáticos imposibles de resolver!
hola tengo un problema y espero que alguno de ustedes pueda ayudarme resulta que devido a circunstancias irrevelables tengo que hacer un curso de geometria ecuclidea II, pero nunca hice el curso de la I… supongo que ya se imaginan el resultado… estoy intentando hacer el primer practico y mi duda es la siguiente: estamos operando con segmentos (suma y multiplicacion por un racional)y tengo que «demostrar» la propidad distributiva, tan conocida por todos: si A es un segmento, x, y pertenecen a los racionales y son positivos, entonces: (x+y)A = xA + yA alguien podria decirme como se «demuestra»… Lee más »
Hola Óscar,
Dile a tu amigo aeronáutico que puesto a hablar de la inutilidad de los números, que piense en los números complejos y en cómo se hubiera sacado esa carrera sin ellos (a saber, Circuitos de segundo, Aerodinámica de tercero).
Yo lo veo así. Las matemáticas son a la ingeniería como la geografía a la minería. Te dice cómo es el universo y la ingeniería lo explota y lo aprovecha, la parte que sabe o que le interesa.
Saludos!
(otra aeronáutica, por cierto)
[…] en algunos comentarios en ciertos artículos (por ejemplo, en algunos de números irracionales cebra) vi que no estaba demasiado claro qué era un número normal voy a intentar explicarlo en esta […]
El número n en base n es 10.
Los Numeros inrracionales, son numeros reales.
Buenas! Pues la verdad es que me custan bastante las mates así, que bueno l verdad esk tengo una duda:
Si multiplicamos dos números irraccionales, obtendremos un número raccional?
espero tener respuesta.
🙂 !!! Dw!
¿existen solamente raices cubicas y cuadradas en el cojunto de los numeros irracionales?
Hola, encontré la página buscando algo acerca de la repetibilidad y demás de los decimales en los números racionales. Muy buenos los cuestionamientos que plantean, siempre hay lugar en la cabeza para más dudas ! Con respecto a la consulta de Laura, la respuesta es no necesariamente, dado que raíz cuarta de 2 por raíz cuarta de 2 es raíz cuadrada de 2, irracional. Esta es sólo una solución particular, quizás alguien pueda presentar una solución general a la pregunta. Nota: La raíz cuarta de 2 es irracional, se demuestra de igual forma que para la raíz de 2: http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada_de_2… Lee más »
hola si multiplicamos dos numeros de esos tedara igual o si multiplicamos tres de esos iguales te ira a dar uno distinto a un irracional¿
si raiz de 2 es un numero irracional y por tanto tiene infinitos decimales y la encontramos que en un cuadrado de uno por uno pero esta es mi pregunta si es infinito raiz de dos entonces por que la diagonal es finita.
si raiz de dos es un numero infinito entonces por que la diagonal de un cuadrado de lados uno por uno es finito.
No hombre, no. El que raíz de dos tenga infinitas cifras, en este caso nunca repetidas (irracional), no quiere decir que raíz de dos sea infinita. Cada cifra que consideres es un orden decimal inferior a su inmediata anterior. De esta forma la sucesión formada con las distintas aproximaciones decimales por defecto: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ……junto con la sucesión análoga por exceso: 1.415, 1.42, 1.5, 2; ambas en el límite convergen («encajan») hacia un valor común h real, que es la raíz de 2, o sea se cumple: 1<1.4<1.41<1.414<1.4142<…h…<1.4143<1.415<1.42<1.5<2 Además como es un problema cuadrático, solución de la… Lee más »
Los aficionados a las matemáticas, no confundirlos con los matemáticos, que parece ser que no existen, no han encontrado una definición del concepto «NÚMERO», lo que es patético, pues las matemáticas, arimética y espaciometría, son la ciencia de la verdad, basada en la exactitud de la espaciometría, (metrica en el espacio), son «la ciencia reina de las ciencias» según un supuesto famoso matemático, para mi un santón de las matemáticas. El concepto número es muy fácil de definir «es un concepto inmaterial y el único concepto en el que sus elementos, los números se pueden multiplicar por si mismos y… Lee más »
Las matemáticas no son una religión, sin embargo se desarrollan como si lo fueran; se utilizan conceptos que se admiten como matemáticos y no son otra cosa que dogmas impuestos por santones de las matematicas, es evidente para cualquier ser inteligente, que los símbolos de los números no son números, son tiza, carbón, tinta, etc, es decir materia de la que está formada la tierra, en tanto que los números son inmateriales y no tienen forma; los «números negativos», «números positivos», y «números imaginarios», no existen, las longitudes no son conjuntos de puntos, las superficies no son conjuntos de longitudes… Lee más »
Creo que tendría que haber una sección dedicada a los disparates.
Estoy pensando hacer una sección dedicada a ello :D.
Estoy bastante de acuerdo con José Antonio, aunque no en todo. Yo todavía estoy esperando alguien que me defina el número 1 sin tener que echar mano de conceptos posteriores a él, es decir, sin utilizar ningún otro número natural ni los conceptos de suma,resta, multiplicación y división. ¿O es qué acaso alguien aprendió antes a sumar o dividir que a contar? y para contar debes tener un punto de partida, ese es el 1. Creo que todos conocemos esa definición de 1 (perdonad mi memoria pero ahora mismo no recuerdo quien fue quien definió el 1 como el primero… Lee más »
Andor, el conjunto de los naturales lo podemos definir axiomáticamente como: Para cada elemento existe uno siguiente, . Existe un elemento que no es sucesor de ningún otro, al cual llamamos 0. Podemos hacer inducción, es decir que a partir del 0 podemos llegar a cualquier natural. Después definimos la suma haciendo que el 0 sea el neutro, y la multiplicación para que el 1=suc(0) sea su neutro. Si quieres empezar a contar desde otro resulta exactamente lo mismo, ya que solamente le estás llamando al primero de otra forma, aunque en ese caso puede que no quieras definir la… Lee más »
Ya conocía esos axiomas, pero siempre es bueno recordarlos. Ahora lanzo una pregunta: ¿Cumpliría estos axiomas una sucesión aritmética cualquiera o incluso la serie de Fibonacci? Pongamos por ejemplo la sucesión 0,3,6,9,12… Existe un elemento sucesor para cada elemento, puesto que la sucesión es infinita. Llamamos 0 al número que no tiene sucesor (en este caso es efectivamente el 0, pero podría no serlo simplemente empezando desde 3). Y ahora viene donde veo el mayor error, corregidme si me equivoco, pero hacer inducción es probar algo para 1 (hay que tener en cuenta que en nuestro caso el «1» sería… Lee más »
Al hacer inducción no estoy usando la suma, sólo que para cada elemento a un sucesor.
i.e.
Otra cosa es que cuando luego definimos la suma, convenientemente tomamos
.
Y si un conjunto con su función sucesor cumple esas propiedades es equivalente a los naturales.
y una función sucesor 
, entonces llamando 0 a 
ya tenemos los naturales, por ejemplo con la suma de los naturales obtendríamos cosas como 
.
Si por ejemplo tienes el conjunto