Ya sea en cumpleaños, bodas o aniversarios la tarta es uno de los elementos estrella. Las hay de todo tipo de sabores, cada día más, y de una gran variedad de formas, pero creo que coincidiremos en que la tarta redonda es la más habitual, la clásica, la tarta por antonomasia.

En todas estas celebraciones el corte de la tarta es uno de los eventos más importantes, diría que un momento crucial. Y sobre todo en aquellas en las que el tamaño de los trozos en los que vamos a cortarla pueden llegar a ser motivo de disputa, como puede ser un cumpleaños con niños pequeños (o no tan niños).

Situémonos en el caso de querer cortar una de estas tartas circulares en cuatro trozos de igual tamaño. Lo más habitual es que localicemos «a ojo» el centro de la circunferencia que forma la parte superior de la tarta, hagamos un corte de «de lado a lado» pasando por ese centro (vamos, siguiendo un diámetro de dicha circunferencia) y después realicemos otro corte perpendicular a éste que pase también por el centro. Obtenemos así algo parecido a esto:

(Sí, bueno, igual no es perfecto, pero no importa. El dibujo es simplemente orientativo.)

Sí, vale, una división de la tarta en cuatro trozos de igual tamaño (y forma, aunque esto no nos interesa en lo que estamos contando) bastante aceptable tanto para el que corta como para quienes luego van a elegir trozo. Pero no me negaréis que es un poco, digamos, aburrido. Es el corte de toda la vida, el típico, el de siempre. ¿Por qué no innovar en esto de los cortes de tartas? Vamos a ver una manera original de cortar una tarta circular como ésa (que, por cierto, es la tarta con banda de Möbius que me regaló Mamen para mi último cumpleaños) en cuatro trozos de igual tamaño.

Y para ello, igual que con el corte habitual, tendremos que localizar el centro de la circunferencia superior. Cuando lo tengamos buscamos dos puntos diametralmente opuestos, a izquierda y derecha del centro por ejemplo, y hacemos lo siguiente: trazamos una circunferencia que tenga al punto de la izquierda y al centro de la inicial como puntos diametralmente opuestos y otra circunferencia igual justo al lado, que tendrá por tanto al centro de la inicial y al punto de la derecha como diametralmente opuestos. Vamos, algo así:

Y ahora cortamos por la línea roja. Original, ¿verdad? Pues sí, muy original, pero no queda tan claro que los cuatro trozos tengan el mismo tamaño (con tamaño, evidentemente, nos estamos refiriendo a cantidad de tarta). Vamos a ver que sí, que tienen todos el mismo tamaño.

Supongamos que la circunferencia superior de la tarta tiene radio R, por lo que el área de dicha circunferencia es \pi R^2. Si la altura de la tarta es h, el volumen de la misma (es decir, la cantidad total de tarta) es \pi R^2h.

Cada una de las dos circunferencias tienen como diámetro al radio de la mayor, por lo que su radio será R \over 2. Entonces el área de cada una será \pi ({R \over 2})^2=\pi {R^2 \over 4} y los trozos de tarta que salen de ellas tendrán un volumen igual a \pi {R^2 \over 4}h, que es un cuarto del volumen total de la tarta.

Veamos qué ocurre con los otros dos trozos. Para calcular su volumen vamos a calcular qué cantidad de tarta queda si quitamos los trozos relativos a las dos circunferencias restando al volumen total la suma de los volúmenes de esos dos trozos:

V_{restante}=\pi R^2h-(\pi {R^2 \over 4}h+\pi {R^2 \over 4}h)=\pi R^2h-\pi {R^2 \over 2}h=\pi {R^2 \over 2}h

que es (como ya sabíamos) justo la mitad de la tarta. Al ser los dos trozos iguales, este volumen se reparte equitativamente entre los dos trozos, por lo que cada uno de ellos da una cantidad de tarta igual a \pi {R^2 \over 4}h, que es exactamente un cuarto de tarta. Por tanto, los cuatro trozos tienen exactamente la misma cantidad de tarta, un cuarto del total.

Y hasta se puede hacer este corte en un único trazo (aunque hay que reconocer que en la práctica sería algo complicado). Para ello partimos de uno de los puntos diametralmente opuestos del principio (el negro que aparece a la izquierda en la siguiente imagen), recorremos la semicircunferencia superior de la primera circunferencia, luego la inferior de la segunda (siguiendo las flechas moradas de la imagen) y después la superior de la segunda seguida de la inferior de la primera (flechas amarillas de la imagen), llegando al punto en el que comenzamos:

Aquí tenéis un ejercicio sencillo y didáctico para plantear en casa en, por ejemplo, algún cumpleaños, aunque seguro que generará disputas (por no tener todos la misma forma). ¿Cuál pensáis que sería la forma que preferiría quien pensara que son de distinto tamaño y quisiera comer más tarta?

Visto en applied mathemagics.

Extra: Como comenta Alberto en su (bueno, y nuestra) comunidad de Matemáticas en Google+, si superponemos nos dos tipos de corte tenemos dividida la tarta en ocho trozos con el mismo volumen. Esto resuelve lo que nos dice Juan en este comentario.

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