Hoy os voy a hablar de un tipo de números curioso, tanto por la propiedad que cumplen como la cantidad de los mismos que podemos encontrar. Son los números de Munchausen.

¿Qué es un número de Munchausen?

Vamos a comenzar definiendo este tipo de números. Sea b un número natural que representará lo sucesivo una base de numeración (por tanto b \ge 2). Entonces, dado un numero natural n, su representación en base b es de la siguiente forma:

n =c_0 +c_1 b+c_2 b^2+ \ldots +c_{m-1} b^{m-1}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i b^i}

para cierto coeficientes c_i todos, evidentemente, menores que b.

Para un número natural n como el descrito antes definimos lo siguiente:

\theta _b(n)=c_0^{c_0}+c_1^{c_1}+ \ldots + c_{m-1}^{c_{m-1}}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i^{c_i}}

En este punto surge una pregunta: ¿qué ocurre si alguno de los coeficientes es cero? Obtendríamos un término 0^0 en la expresión de \theta _b(n). ¿Qué hacemos en este caso? Pues tomar 0^0=1, que ya sabemos que es la manera más razonable de definirlo.

Bien, ya tenemos todo lo que necesitamos para presentar a este tipo de número:

Diremos que un número natural n es un número de Munchausen en una base b si n=\theta _b(n), esto es, tal número n es igual a la suma de los coeficientes de su representación en base b elevados a ellos mismos, o lo que es lo mismo:

n=c_0^{c_0}+c_1^{c_1}+ \ldots + c_{m-1}^{c_{m-1}}=\displaystyle{\sum_{i=0}^{m-1} c_i^{c_i}}

Parece que la curiosa denominación de este tipo de números proviene del Barón de Munchausen, personaje a caballo entre la realidad y la ficción que poseía la capacidad de elevarse a si mismo.

¿Cuántos números de Munchausen existen?


Cuando nos encontramos un cierto tipo de números con propiedades curiosas o interesantes es casi obligatorio preguntarse con qué frecuencia podemos toparnos con uno de ellos. Un ejemplo típico de esto son los números perfectos en base 10, es decir, números que son iguales a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número). Para este tipo de números no se tiene respuesta a esta pregunta, es decir, no se sabe si hay infinitos números perfectos o si por el contrario sólo podemos encontrar una cantidad concreta de ellos.

Para los números de Munchausen sí hay respuesta a esta pregunta:

Para cualquier base b, existe una cantidad finita de número de Munchausen.

Concretando en base 10 sólo podemos encontrar dos números de Munchausen, el 1, ya que 1^1=1, y el 3435, ya que:

3435=3^3+4^4+3^3+5^5

Para otras bases no hay muchos más. La lista para 2 \le b \le 10 es la siguiente:

  • Base 2: 1,2
  • Base 3: 1,5,8
  • Base 4: 1,29,55
  • Base 5: 1
  • Base 6: 1,3164,3416
  • Base 7: 1,3665
  • Base 8: 1
  • Base 9: 1,28,96446,923362
  • Base 10 : 1,3435

La demostración de este hecho (la cantidad de números de Munchausen es finita para cualquier base b) la podéis encontrar en el pdf enlazado al final de esta entrada.

Fuentes:

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