El método de exhaución ideado por los griegos es un argumento mediante el cual se puede aproxima el perímetro o el área de figuras curvas. Probablemente, el ejemplo más famoso es el cálculo de la longitud de la circunferencia que elaboró Arquímedes en el que se aproximaba dicha longitud mediante polígonos regulares inscritos en ella (más información en la Wikipedia en inglés).

Polígonos de 6, 12 y 24 lados inscritos en una circunferencia.

Detrás de este método están los conceptos que permitieron desarrollar el cálculo diferencial e integral y posteriormente, el concepto de límite.


Ernesto ArandaÉste es el comienzo de una interesante colaboración de Ernesto Aranda, en la que nos mostrará una supuesta «demostración» de que 2=1. En internet se pueden encontrar algunas «demostraciones» de este hecho. La mayoría de ellas son sencillas de desenmascarar, ya que suele utilizar la cancelación de un término que en realidad es igual a cero (razón por la cual no puede cancelarse). En Gaussianos hemos publicado alguna un poco más compleja, como ésta, relacionada con la raíz cuadrada, o ésta, relacionada con derivadas. La que nos trae Ernesto es, posiblemente, más compleja que todas ellas. Por eso, él mismo nos explicará después dónde está el error.

Por cierto, creo que es buen momento para presentar a nuestro colaborador. Ernesto Aranda es licenciado y doctor por la Universidad de Sevilla, y profesor titular de universidad del área de Matemática Aplicada de la UCLM, donde imparte clases en la Escuela de Ingenieros Industriales de Ciudad Real. Su área de trabajo gira en torno al cálculo de variaciones y al diseño y control óptimos, desde una perspectiva numérica. Aparte de la cuestión académica, es de destacar que es un apasionado del parapente y del paramotor.

Y aprovecho para comentaros que en su página web podéis encontrar apuntes y libros interesantes relacionados con \LaTeX y Python.

Os dejo con el resto del artículo. Espero que os resulte interesante.


El método de exhaución en definitiva no es más que un paso al límite, que aplicado al cálculo de la longitud de la circunferencia afirma que el perímetro del polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia tiene longitud, cuando n es suficientemente grande, prácticamente igual a la longitud de la circunferencia.

Aquí vamos a usar este método de exhaución para «probar» que 2=1. Para ello, consideremos un triángulo equilátero de lado 1 (como el que aparece a la izquierda en la imagen posterior). Es evidente que los lados opuestos a la base tienen longitud 1, y su suma será 1+1=2.

A continuación, sobre el triángulo anterior, construimos dos triángulos equiláteros de lado 1 \over 2, según vemos en el centro de la imagen siguiente. Ahora, si sumamos la longitud de los lados opuestos a las bases, tenemos 4 lados de longitud 1 \over 2, cuya suma es 2, mientras que las bases continúan sumando 1.

Es fácil intuir las siguientes iteraciones de nuestra construcción. En la siguiente etapa tendremos 4 triángulos equiláteros cuyos lados tienen longitud 1 \over 4, de manera que las longitudes de los lados opuestos a las bases siguen sumando 2, mientras que la longitud de sus bases suma 1:

Al cabo de n iteraciones, tendremos 2^{n-1} triángulos equiláteros de lado 1 \over {2^{n-1}}, y si sumamos las longitudes de los lados opuestos a las bases serán 2^{n-1} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}=2, y las bases seguirán sumando 1.

En nuestro caso, si seguimos realizando iteraciones de la construcción anterior, resultará que en el límite los triángulos equiláteros construidos se aproximan cada vez más a la línea que forman sus bases, por lo que sus longitudes han de ser iguales. Pero la suma de las longitudes de los lados opuestos es siempre 2, y las bases suman siempre 1. Ahora, según el método de exhaución en el límite deben coincidir, de modo que «2 ha de ser igual a 1«.


Paramos un momento aquí para dejaros pensar. ¿Dónde puede estar el error (porque error tiene que haber)? ¿Cómo podríamos explicarlo? Bien, vamos con la segunda parte del artículo: la explicación que Ernesto nos da sobre esta «demostración».


Para ver qué está ocurriendo con esta aparente paradoja, debemos formalizar un poco los elementos con los que estamos jugando. En lugar de una sucesión de triángulos podemos considerar una sucesión de funciones, cuya gráfica corresponde a cada una de las etapas de construcción. Así, tendríamos que las funciones que corresponden a los lados opuestos a la base en los triángulos son

f_n(x) =\sqrt{3} \left ( \cfrac{1}{2^n} - \left | x- \cfrac{[2^{n-1}x]}{2^{n-1}} - \cfrac{1}{2^n} \right | \right )

donde [\,\cdot\,] denota la parte entera. Estas son las conocidas como funciones dientes de sierra. Es evidente que f_n(x) \ge 0, \forall x \in [0,1] y que

|f_n(x)| \le \cfrac{\sqrt{3}}{2^n} \quad \forall x \in [0,1]

De aquí se deduce fácilmente que la sucesión f_n converge uniformemente a 0. Como consecuencia, vemos que el método de exhaución falla estrepitosamente: tenemos una sucesión de funciones que converge de la mejor forma posible a otra función, pero la longitud de estas funciones no converge a la longitud de su límite.

Aquí es importante observar que estamos midiendo longitudes; para ello, debemos recordar que el cálculo de la longitud de una curva dada por una función g, entre los puntos de abscisa x=0 y x=1 viene dado por el funcional integral

L(g) = \displaystyle{\int_0^1 \sqrt{1+(g'(x))^2} \, dx}

Esto nos puede dar una idea inicial de lo que está ocurriendo. Para calcular la longitud debemos tener presente las derivadas de las funciones f_n. Si alguien está pensando en que eso no es posible, pues las funciones f_n no son derivables, en realidad eso no es problema, puesto que se trata de funciones que son derivables a trozos, y por tanto la integral anterior se puede calcular como una suma de integrales en los subintervalos en los que las funciones sí son derivables.

Pero la dificultad aparece cuando tomamos límite, no en las funciones f_n sino en sus derivadas. ¿Cuál es el límite de f_n'? Si tomamos cualquier punto x \in [0,1] \backslash \{ \frac{m}{2^k}, \ m=1,\dots,2^k-1\}_{k \in \mathbb{Z}}, vemos que la sucesión f_n'(x) no tiene límite, pues sus valores van a ser \sqrt{3} o -\sqrt{3}. Es decir, la sucesión f_n' no converge puntualmente.

No obstante, existe un concepto de límite coherente con el límite de f_n y de sus derivadas: la convergencia débil. Para no entrar en cuestiones excesivamente técnicas, bastará decir que la convergencia débil de funciones viene a ser convergencia en media. Podemos decir que una sucesión g_n converge débil a g, y se denota por g_n \rightharpoonup g si

\displaystyle{\int_0^1 g_n(x) \, dx  \rightarrow \int_0^1 g(x) \, dx}

Además, la convergencia fuerte, que sería la convergencia en norma, implica la convergencia débil. De este modo, la sucesión de funciones f_n anterior converge débil a f=0 y sus derivadas f_n' convergen débilmente a f'=0.

Ahora sí podemos explicar matemáticamente por qué falla el método de exhaución en este caso. Para que el límite de las longitudes de las funciones de las sucesión sea igual a la longitud del límite se ha de tener continuidad del funcional longitud. Aunque el funcional integral L descrito antes es continuo respecto de la convergencia fuerte, no es continuo respecto de la convergencia débil, de hecho sólo es semicontinuo inferior débil, esto es, si f_n \rightharpoonup f, entonces L(f) \le L(f_n), que es justamente o que sucede en nuestro caso. Si f=0, entonces L(f) = 1 \le L(f_n) = 2. O sea, que en realidad sólo podemos decir que 1\le 2.


¿Qué os ha parecido? ¿Conocíais esta demostración falaz de que 2=1? ¿Habíais visto la explicación alguna vez? Os animo a que nos contéis vuestras experiencias en los comentarios, así como que nos habléis de otras «demostraciones» de 2=1 que no hayamos citado aquí.

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