En esta entrada explicaremos en qué consiste el problema de la intersección de subgrupos parabólicos, un problema que llevaba abierto más de 20 años y que ha sido resuelto recientemente para algunos casos importantes. Antes de seguir leyendo, asegúrate de haber leído la entrada anterior en la que explicamos qué son los grupos de trenzas y los grupos de Artin.

Segunda entrada de la colaboración de María Cumplido sobre la conjetura que ha resuelto recientemente. Como te recomendamos en el párrafo anterior, es interesante leer primero la entrada en la que María nos introduce en el mundo de las trenzas. Si ya estás preparado para continuar la visita por este interesante mundo, sigue leyendo…

Trenzas y curvas

Hemos visto que las trenzas se pueden definir como el movimiento de puntos en un disco. Si dibujamos una curva cerrada dentro de este disco y movemos los puntos (aplicamos una trenza), esta curva se va a deformar. Por ejemplo, toma tres palillos (que representarán los puntos) y pon una goma elástica (que representarán la curva) que rodee el primer y el segundo palillo. Seguidamente, intercambia el segundo y el tercer palillo (esto es aplicar la trenza \sigma_2) y la goma elástica quedará deformada (Figura 6)

Figura 6: Deformación de una curva

Saber cómo el conjunto de curvas cerradas (con algunas condiciones más) del disco con n agujeros se comporta bajo la aplicación de una trenza nos ayuda a comprender el grupo de trenzas en sí mismo. Este tipo de técnicas pertenecen al campo de la Teoría Geométrica de Grupos, que estudia las propiedades de objetos geométricos cuando los «transformamos» usando un grupo, en nuestro caso cuando deformamos las curvas usando el grupo de trenzas.

Así, por ejemplo, según la llamada clasificación de Nielsen-Thurston, las trenzas, y en general los elementos de un mapping class group, se dividen en tres clases según deformen las curvas de la superficie en la que actúan: periódicas (si alguna potencia es la identidad), reducibles (si la trenza preserva alguna familia de curvas) y pseudo-Anosov (si, hablando mal y pronto, no se preserva nada y las curvas se lían mucho cuando aplicamos la trenza sucesivas veces). Resulta que cada tipo de trenza tiene propiedades diferentes. Sin ir más lejos, existe una aplicación práctica que usa los movimientos de las trenzas para hacer dispositivos de mezclado de líquidos, por la que sabemos que las trenzas pseudo-Anosov son las que más convienen (normal, por otra parte, ya que son las trenzas que «más lían»). Sin embargo esta clasificación es de enorme utilidad para atacar problemas teóricos.

Subgrupos parabólicos

Cuando tomamos la definición algebraica del grupo de trenzas en lugar de la geométrica, donde antes estaban las curvas encontramos subgrupos parabólicos. Es decir, los subgrupos parabólicos son análogos a las curvas en los grupos de trenzas. Veamos cómo se definen y el porqué de esta analogía.

Figura 7: Curvas equivalentes

Lo primero de todo es recalcar que consideramos las curvas salvo deformación continua. Es decir, dos curvas son iguales si podemos deformar una para obtener la otra sin mover los n puntos marcados en el disco. Las curvas inicial y final de la Figura 6 no son equivalentes, porque necesitamos mover los puntos, pero las dos curvas de la Figura 7 sí que son equivalentes.

Dibuja un círculo alrededor de los dos primeros puntos del disco. Podemos hacer trenzas que estén contenidas en el cilindro definido por este círculo, moviendo solo estos dos primeros puntos. Esto es, solo usamos el primer generador \sigma_1 del grupo de trenzas. En general, si dibujamos círculos disjuntos en el disco, podemos construir trenzas más pequeñas que estén contenidas en los cilindros de estos círculos. Así, dentro del grupo de trenzas podemos encontrar grupos de trenzas más pequeños, que se llaman subgrupos, y a cada familia de círculos disjuntos que dibujemos le podemos asignar un subgrupo diferente. Estos grupos son los llamados subgrupos parabólicos estándar. Por ejemplo, el subgrupo parabólico estándar asociado al círculo que rodea el primer y el segundo punto del disco es el subgrupo en el que solo se usa el primer generador, y que denotamos A_{\{\sigma_1\}} (Figura 8):

Figura 8: Subgrupo parabólico estándar

En general, un subgrupo parabólico estándar de un grupo de Artin A_S es un subgrupo generado por un subconjunto del conjunto de generadores S. Esto es, para cada subconjunto S'\subset S, tenemos un subgrupo parabólico estándar A_{S'}.

Bien, ya sabemos lo que son los subgrupos parabólicos estándar y que equivalen a sistemas de círculos en el caso de las trenzas. Ahora vamos a ver qué son los subgrupos parabólicos (sin el «estándar») y por qué equivalen a curvas cerradas. Dijimos anteriormente que las trenzas deforman las curvas en el disco. Pues resulta que cualquier curva cerrada se pueda expresar como un círculo deformado por una trenza. En los grupos de Artin, deformar la curva c por la trenza t equivale a conjugar el subgrupo parabólico estándar asociado a c por la trenza t (conjugar significa multiplicar a un lado por t^{-1} y al otro por t). Por ejemplo, si c rodea los primeros dos puntos del disco y t=\sigma_2 (como en la Figura 6), entonces la curva que obtenemos es equivalente a P=t^{-1}A_{\{\sigma_1\}}t. Este P es un subgrupo parabólico. En general, un subgrupo parabólico de un grupo de Artin A_S es cualquier subgrupo que se exprese como el conjugado de un subgrupo parabólico estándar, es decir, a^{-1}A_{S'}a, donde S^\prime es un subconjunto de S y a es un elemento de A_S.

El problema de la intersección de subgrupos parabólicos

Cuando trabajamos con curvas, podemos observar gráficamente los puntos en los que intersecan. De hecho, como consideramos las curvas salvo deformación, puede parecer que dos curvas diferentes intersecan muchas veces, pero en realidad podemos deformarlas para que el número de intersecciones sea lo más bajo posible. Este número se llama número de intersección, y se usa mucho cuando trabajamos con mapping class groups. Pero, ¿qué pasa en el álgebra?, ¿qué sabemos de la intersección de los subgrupos parabólicos? Porque ocurre que las curvas son «observables», pero los subgrupos parabólicos tienen infinitos elementos y no se puede calcular, usando fuerza bruta, cuáles son los elementos de dos subgrupos que coinciden. Esta fue la pregunta que surgió durante el desarrollo de mi tesis doctoral, ya que estaba tratando de generalizar resultados de trenzas a grupos de Artin de tipo esférico. Mis directores de tesis y yo preguntamos a otros expertos en teoría de trenzas y así nos enteramos, gracias al profesor Luis Paris de la Universidad de Borgoña, de que ni siquiera se sabe en general si la intersección de subgrupos parabólicos es un subgrupo parabólico, y que hacía más de 20 años que él y otros investigadores e investigadoras se lo preguntaban.

Sabemos, sin embargo, que la intersección de subgrupos parabólicos estándar de cualquier grupo de Artin es un subgrupo parabólico estándar. Este resultado, que Harm Van der Lek demostró en su tesis en 1983, resulta bastante intuitivo, ya que, si tenemos dos subgrupos parabólicos estándar generados por dos subconjuntos de generadores S_1 y S_2, su intersección será precisamente el subgrupo generado por la intersección S_1\cap S_2. En las trenzas, si tenemos dos círculos rodeando varios puntos del disco, su intersección será el círculo que rodee los puntos que tienen en común. Pero, al conjugar, no está nada claro que la intersección de dos subgrupos de la forma a_1^{-1} A_{S_1}a_1 y a_2^{-1} A_{S_2}a_2 vaya a ser otro subgrupo a_3^{-1} A_{S_3}a_3.

Así que, decidimos intentar atacar este problema y, un año y medio después, conseguimos demostrar que la intersección de subgrupos parabólicos en grupos de Artin de tipo esférico es un subgrupo parabólico. Este resultado de mi tesis doctoral, On parabolic groups of Artin-Tits groups of spherical type, está publicado en Advances of Mathematics y la autoría es compartida con mis directores de tesis, Juan González-Meneses (Universidad de Sevilla) y Bert Wiest (Universidad de Rennes), y el investigador Volker Gebhardt de Western Sydney University.

La demostración no fue nada fácil y es bastante técnica. Usamos una estructura algebraica particular de los grupos de Artin esféricos que se llama estructura de Garside y que nos provee de herramientas que no existen en los demás grupos de Artin. Lo que hicimos fue demostrar que todo elemento a de un grupo de Artin esférico está contenido en un único subgrupo parabólico minimal, que llamamos clausura parabólica de a. Después, demostramos que, dados dos subgrupos parabólicos con intersección no vacía, su intersección es precisamente la clausura parabólica de un elemento de la intersección que tiene ciertas propiedades de maximalidad.

Un año más tarde, nuestro resultado fue parcialmente generalizado a grupos de Artin de tipo FC por la matemática estadounidense Rose Morris-Wright. Los grupos de Artin de tipo FC son aquellos en los que todo subconjunto de generadores que no contenga relaciones infinitas m_{s,t}=\infty define un grupo de Artin esférico. En su tesis doctoral, dirigida por la profesora Ruth Charney, Morris-Wright demuestra que la intersección de subgrupos parabólicos de tipo esférico es un subgrupo parabólico de tipo esférico. Finalmente, en un trabajo en curso de redacción con Alexandre Martin y Nicolas Vaskou de la Universidad Heriot-Watt de Edimburgo, también hemos podido demostrar que la intersección de subgrupos parabólicos es un subgrupos parabólico en grupos de Artin de tipo grande (en inglés large type). Estos grupos son los que no contienen relaciones de commutación m_{s,t}=2. Ambas generalizaciones usan técnicas diferentes a la prueba del primer artículo, pero usan pruebas por inducción cuyo caso base es precisamente el caso esférico.

El problema de intersección de subgrupos parábolicos, que es tan simple de formular y parece tan básico, sigue aún abierto para grupos de Artin en general. En realidad, hay muy pocos resultados que estén probados para cualquier grupo de Artin. ¿Qué hay detrás de todo ese misterio? ¿Son estos grupos tan complicados como parecen? ¿Se podrían usar para crear protocolos de seguridad? Todavía queda mucho por descubrir.

Esperamos que os hayan gustado estas dos entradas dedicadas al mundo de las trenzas y al problema que María Cumplido ha conseguido resolver. Desde aquí, quiero agradecer a María lo bien que se ha portado con nosotros al redactar una colaboración tan detallada y con tanta información. Seguro que vosotros, queridos lectores de Gaussianos, habéis disfrutado estas dos entradas tanto como lo he hecho yo.

Esta entrada participa en la Edición 11.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión aloja Mayte J. Romera en su blog Qué vamos a hacer hoy.

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