El triángulo de Pascal nunca dejará de sorprendernos. El hecho de que contenga dentro de él tantos elementos destacables hace que este objeto matemático sea de un gran interés para todos los que de una forma u otra se sienten atraídos por las matemáticas.

Dentro del triángulo de Pascal, que para quien no lo conozca es éste

Triángulo de Pascal

(los términos de izquierda y derecha son siempre 1, y los demás se consiguen sumando los dos que aparecen encima en la fila justo anterior) podemos encontrar los números naturales, los números combinatorios, los números triangulares, las potencias de 2, los términos de la sucesión de Fibonacci…¡¡hasta el número e!! Pero, como decía en el post que acabo de enlazar, no conocía ninguna forma de encontrar el número Pi en dicho triángulo…hasta ahora.

Señoras, caballeros, se puede encontrar el número Pi dentro del triángulo de Pascal. Y en este post vamos a comentar cómo hacerlo.

Antes de nada vamos a establecer la notación que vamos a seguir con los elementos del triángulo. Comenzando a numerar las filas desde cero (la primera, la formada solamente por un 1) y los elementos de cada fila también por cero, llamaremos a cada elemento C_j^i, siendo i=0, \ldots la fila donde está el elemento y j=0, \ldots ,i la posición que ocupa el elemento en dicha fila i. Por ejemplo, si vemos de nuevo el triángulo

\begin{matrix} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\ 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad 10 \quad 1 \\ 1 \quad 11 \quad 55 \quad 165 \quad 330 \quad 462 \quad 462 \quad 330 \quad 165 \quad 55 \quad 11 \quad 1 \\ 1 \quad 12 \quad 66 \quad 220 \quad 495 \quad 792 \quad 924 \quad 792 \quad 495 \quad 220 \quad 66 \quad 12 \quad 1 \end{matrix}

el término C_1^4 sería igual a 4; el término C_4^7 sería 35; y el término C_6^9 sería 84.

Bien, metámonos en el asunto. El número combinatorio C_m^n={n \choose m} se define de la siguiente forma:

\displaystyle{C_m^n={n \choose m}=\cfrac{n!}{m! \cdot (n-m)!}}

Con esta definición, sabemos (como hemos comentado al principio del post) que los elementos C_j^i del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios i \choose j:

(Imagen tomada de aquí.)

Si tomamos ahora j=3 tenemos que:

C_3^i=\displaystyle{{i \choose 3}=\cfrac{i!}{3! \cdot (i-3)!}}

Simplificando los dos factoriales que dependen de i y desglosando 3! llegamos a la siguiente expresión:

C_3^i=\displaystyle{{i \choose 3}=\cfrac{(i-2) \cdot (i-1) \cdot i}{1 \cdot 2 \cdot 3}}

Hasta aquí bien, ¿verdad? Vale, pues demos un paso más. Vamos a tomar esta serie infinita relacionada con Pi que publicó Nilakantha Somayaji en el siglo XV (al final del post se adjunta una demostración de esta igualdad):

\pi = 3 + \cfrac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \cfrac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \cfrac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \cfrac{4}{8 \cdot 9 \cdot 10} + \ldots

Sacamos factor común el 4 de todas las fracciones, y después las multiplicamos y dividimos todas por 6. El «dividido» lo dejamos fuera de las fracciones, como denominador del 4 que habíamos sacado (quedando entonces 2 \over 3), y el «multiplicado» lo expresamos en todas ellas como 6=1 \cdot 2 \cdot 3, quedando la siguiente expresión:

\pi = 3 + \cfrac{2}{3} \left (\cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{8 \cdot 9 \cdot 10} + \ldots \right )

Y ahora viene la clave: las fracciones que nos han quedado son precisamente los inversos de C_3^i, para i par y mayor o igual que 4:

C_3^4=\cfrac{2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3}; \quad C_3^6=\cfrac{4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}; \quad C_3^8=\cfrac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3}; \ldots

Y así llegamos a expresar el número Pi como una serie infinita que involucra de una forma maravillosa a ciertos elementos del triángulo de Pascal:

\pi = 3 + \cfrac{2}{3} \left (\cfrac{1}{C_3^4} - \cfrac{1}{C_3^6} + \cfrac{1}{C_3^8} - \cfrac{1}{C_3^{10}} + \ldots \right )

Maravilloso, ¿verdad? Pues no queda ahí la cosa, porque ésta no es la única forma de «encontrar» Pi en el triángulo de Pascal. Aprovechando que en el triángulo aparecen los números triangulares (hecho que hemos comentado al principio de la entrada), Jonas Castillo Toloza (que, por cierto, suele comentar en Gaussianos), encontró en 2007 esta bella serie infinita que involucra al número Pi y a ciertos términos del triángulo de Pascal:

\pi-2=\cfrac{1}{C_2^2}+\cfrac{1}{C_2^3}-\cfrac{1}{C_2^4}-\cfrac{1}{C_2^5}+\cfrac{1}{C_2^6}+\cfrac{1}{C_2^7}-\cfrac{1}{C_2^8}-\cfrac{1}{C_2^9}+ \ldots

En el segundo enlace de Cut-the-Knot que aparece en las fuentes de este post podéis ver un par de demostraciones de este hecho, y también algo más de información. Y si queréis ver más patrones que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal no os perdáis Patterns in Pascal Triangle, también de Cut-the-Knot.

Y, como siempre, si conocéis alguna otra forma interesante de encontrar Pi mediante términos del triángulo de Pascal (o algún otro patrón que aparezca en el triángulo y que no sea muy conocido) ahí tenéis los comentarios para que nos habléis sobre ello.

Como no he encontrado por ahí ninguna demostración de la fórmula de Somayaji, he desarrollado yo la siguiente:

Demostración de la fórmula de Somayaji:

Expresamos la fórmula de Somayaji

\pi = 3 + \cfrac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \cfrac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \cfrac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \cfrac{4}{8 \cdot 9 \cdot 10} + \ldots

de la siguiente forma:

\begin{matrix} \pi - 3 = \cfrac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \cfrac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \cfrac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \cfrac{4}{8 \cdot 9 \cdot 10} + \ldots = \\ \\=4 \cdot \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{2n(2n+1)(2n+2)}} \end{matrix}

Sacando el 2 de 2n y el 2 de 2n+2 y simplificando con el 4 obtenemos la siguiente expresión de dicha fórmula:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=\pi-3}

Vamos a demostrar que dicha suma infinita vale, efectivamente, \pi-3.

Expresamos la fracción \frac{1}{n(n+1)(2n+1)} como suma de fracciones simples, quedando:

\cfrac{1}{n(n+1)(2n+1)}=\cfrac{1}{n}+\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{4}{2n+1}

Vamos ahora a dar valores a n desde 1 en adelante (incluyendo el término (-1)^{n+1}, que determinará el signo de cada uno de ellos) para ver qué términos nos aparecen:

\begin{array}{lr}n=1 & \qquad 1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{4}{3} \\ \\ n=2 & \qquad -\cfrac{1}{2} -\cfrac{1}{3}+\cfrac{4}{5} \\ \\ n=3 & \qquad \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{4}{7} \\ \\ n=4 & \qquad -\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{4}{9} \\ \\ n=5 & \qquad \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}-\cfrac{4}{11} \\ \\ \ldots & \ldots \\ \\ n & \qquad \cfrac{1}{n}+\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{4}{2n+1} \end{array}

Si ahora sumamos todos esos términos vemos que todas las fracciones que aparecen en los dos primeros lugares en cada uno de ellos se cancelan, al aparecer cada una de ellas una vez con signo positivo y otra con signo negativo. Nos queda el 1 inicial y todos los terceros sumandos de cada término. Por tanto:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=1+4 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n}}{2n+1}}

Y ahora la clave está en utilizar la suma de Leibniz (de cuya validez tenéis una demostración aquí):

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n}}{2n+1}}=\cfrac{\pi}{4}

Si os fijáis, esta suma de Leibniz es precisamente las que nos ha aparecido en la expresión anterior, pero en vez de comenzar en n=0 la nuestra comienza en n=1. Por tanto tendremos que restarle a \pi \over 4 el primer término de la suma de Leibniz, que es 1, quedando:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n}}{2n+1}}=\cfrac{\pi}{4}-1

Con esto ya podemos terminar:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=1+4 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n}}{2n+1}=1+4 \cdot (\cfrac{\pi}{4}-1)=1+\pi-4=\pi-3}

que era lo que queríamos probar. Como ello queda demostrada la validez de la fórmula de Somayaji.

Fuentes:

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