El triángulo de Pascal nunca dejará de sorprendernos. El hecho de que contenga dentro de él tantos elementos destacables hace que este objeto matemático sea de un gran interés para todos los que de una forma u otra se sienten atraídos por las matemáticas.
Dentro del triángulo de Pascal, que para quien no lo conozca es éste
(los términos de izquierda y derecha son siempre 1, y los demás se consiguen sumando los dos que aparecen encima en la fila justo anterior) podemos encontrar los números naturales, los números combinatorios, los números triangulares, las potencias de 2, los términos de la sucesión de Fibonacci…¡¡hasta el número e!! Pero, como decía en el post que acabo de enlazar, no conocía ninguna forma de encontrar el número Pi en dicho triángulo…hasta ahora.
Señoras, caballeros, se puede encontrar el número Pi dentro del triángulo de Pascal. Y en este post vamos a comentar cómo hacerlo.
Antes de nada vamos a establecer la notación que vamos a seguir con los elementos del triángulo. Comenzando a numerar las filas desde cero (la primera, la formada solamente por un 1) y los elementos de cada fila también por cero, llamaremos a cada elemento , siendo
la fila donde está el elemento y
la posición que ocupa el elemento en dicha fila
. Por ejemplo, si vemos de nuevo el triángulo
el término sería igual a 4; el término
sería 35; y el término
sería 84.
Bien, metámonos en el asunto. El número combinatorio se define de la siguiente forma:
Con esta definición, sabemos (como hemos comentado al principio del post) que los elementos del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios
:
Si tomamos ahora tenemos que:
Simplificando los dos factoriales que dependen de y desglosando
llegamos a la siguiente expresión:
Hasta aquí bien, ¿verdad? Vale, pues demos un paso más. Vamos a tomar esta serie infinita relacionada con Pi que publicó Nilakantha Somayaji en el siglo XV (al final del post se adjunta una demostración de esta igualdad):
Sacamos factor común el 4 de todas las fracciones, y después las multiplicamos y dividimos todas por 6. El «dividido» lo dejamos fuera de las fracciones, como denominador del 4 que habíamos sacado (quedando entonces ), y el «multiplicado» lo expresamos en todas ellas como
, quedando la siguiente expresión:
Y ahora viene la clave: las fracciones que nos han quedado son precisamente los inversos de , para
par y mayor o igual que 4:
Y así llegamos a expresar el número Pi como una serie infinita que involucra de una forma maravillosa a ciertos elementos del triángulo de Pascal:
Maravilloso, ¿verdad? Pues no queda ahí la cosa, porque ésta no es la única forma de «encontrar» Pi en el triángulo de Pascal. Aprovechando que en el triángulo aparecen los números triangulares (hecho que hemos comentado al principio de la entrada), Jonas Castillo Toloza (que, por cierto, suele comentar en Gaussianos), encontró en 2007 esta bella serie infinita que involucra al número Pi y a ciertos términos del triángulo de Pascal:
En el segundo enlace de Cut-the-Knot que aparece en las fuentes de este post podéis ver un par de demostraciones de este hecho, y también algo más de información. Y si queréis ver más patrones que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal no os perdáis Patterns in Pascal Triangle, también de Cut-the-Knot.
Y, como siempre, si conocéis alguna otra forma interesante de encontrar Pi mediante términos del triángulo de Pascal (o algún otro patrón que aparezca en el triángulo y que no sea muy conocido) ahí tenéis los comentarios para que nos habléis sobre ello.
Como no he encontrado por ahí ninguna demostración de la fórmula de Somayaji, he desarrollado yo la siguiente:
Demostración de la fórmula de Somayaji:
Expresamos la fórmula de Somayaji
de la siguiente forma:
Sacando el 2 de y el 2 de
y simplificando con el 4 obtenemos la siguiente expresión de dicha fórmula:
Vamos a demostrar que dicha suma infinita vale, efectivamente, .
Expresamos la fracción como suma de fracciones simples, quedando:
Vamos ahora a dar valores a desde 1 en adelante (incluyendo el término
, que determinará el signo de cada uno de ellos) para ver qué términos nos aparecen:
Si ahora sumamos todos esos términos vemos que todas las fracciones que aparecen en los dos primeros lugares en cada uno de ellos se cancelan, al aparecer cada una de ellas una vez con signo positivo y otra con signo negativo. Nos queda el 1 inicial y todos los terceros sumandos de cada término. Por tanto:
Y ahora la clave está en utilizar la suma de Leibniz (de cuya validez tenéis una demostración aquí):
Si os fijáis, esta suma de Leibniz es precisamente las que nos ha aparecido en la expresión anterior, pero en vez de comenzar en la nuestra comienza en
. Por tanto tendremos que restarle a
el primer término de la suma de Leibniz, que es 1, quedando:
Con esto ya podemos terminar:
que era lo que queríamos probar. Como ello queda demostrada la validez de la fórmula de Somayaji.
Fuentes:
in Pascal’s Triangle, en Cut-the-Knot.
in Pascal’s Triangle via Triangular numbers, en Cut-the-Knot.
Esta entrada es la primera aportación de Gaussianos a la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Mago Moebius como anfitrión.
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Si pudiéramos intercalar un término en la segunda fila sería muy fácil:

Información Bitacoras.com
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¡Jorobar! Entonces el triángulo de Pascal está relacionado con pi!??
¿Y, ya puestos (y sea esto dicho no sin cierta coña y frivolidad [lo reconozco]), por qué no existe el tetraedro de Pascal? ¿es que no tiene ninguna aplicación ‘real’ (o realizable)?
Saludos
[…] Cómo encontrar el número Pi en el triángulo de Pascal […]
No entiendo bien lo del tetraedro. ¿Cómo lo definirias exactamente?
Cuando desarrollé mi fórmula para pi basada en los números triangulares no pensé que tuviera tanta relevancia, pués no era de convergencia rápida. Fué Candido Otero ( a quien considero el fans de pi número uno en el mundo) quien la publicó en la web, donde incluyó también una demostración suya. http://www.xtec.cat/~bfiguera/formulpi.htm http://www.lifesmith.com/mathfun.html#41 Sinceramente desconocía acerca de la búsqueda de pi en El Triángulo de Pascal, ni siquiera cuando me enteré del descubrimiento de e en El triángulo de Pascal por medio de este blog se me ocurrió la idea de relacionar a pi. Curiosamente había compartido esta fórmula en… Lee más »
Efectivamente existe el tetraedro o pirámide de Pascal.
Está formado por los coeficientes del desarrollo del trinomio (a+b+c)^n.
Podéis verlo en el apartado «Generalizaciones» de la entrada «Triángulo de Pascal» de la WIKIPEDIA.
Véase la similitud entre «
Por lo tanto
[…] […]
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A ver quién encuentra a la constante áurea fi en el triángulo de Pascal…
Increible, sólo falta que encuentren la razón aurea…
Pero si ya está la sucesión de Fibonacci, se saca a partir de ciertas diagonales en el triángulo de Pascal. Si designamos por
el n-ésimo término de la sucesión, se puede expresar como la suma de los
con
y las restricciones que cabe esperar (
enteros,
).
…
Y la razón áurea es el límite del cociente
cuando n tiende a infinito, así que también puede expresarse en términos del triángulo de Pascal (como un cociente de dos sumatorios).
como lo haría, es para un trabajo de investigación(estoy en secundaria )
El tetraedro de Pascal se puede definir de forma análoga al triángulo de Pascal. En el triángulo empezamos poniendo un 1 arriba del todo y luego vamos poniendo poniendo cada «piso» nuevo debajo del anterior, de forma que cada término es igual a la suma de los dos términos que están encima de él. Gráficamente esos tres términos (el nuevo y los dos que sumados dan ese) forman un pequeño triángulo equilátero que apunta hacia abajo. En el tetraedro ocurre básicamente lo mismo, solo que cada término es igual a la suma de los *tres* términos que están encima de… Lee más »
Sí David, al aparecer los términos de la sucesión de Fibonacci es bastante obvio que la razón aurea está en el triángulo de Pascal, no me había dado cuenta, y eso que la nota lo menciona claramente… pero gracias! Abrazo.
Muchísimas gracias por participar en el carnaval de matemáticas
http://topologia.wordpress.com/2014/04/27/resumen-de-la-edicion-5-3-felix-klein-del-carnaval-de-matematicas/
con esta estupenda entrada. Os recordamos que el 16 de mayo acaba el plazo para votar a la mejor entrada de esta edición. Un saludo
PD: Ya queda menos para la siguiente edición que albergaréis vosotros este mes, ¿verdad?
Eso me deja con una duda
Si
se puede expresar como una serie infinita, ¿eso no lo convierte en un numero racional, por ser numerable?
Diego Carmona González, el valor de la suma de una serie infinita, aunque sea numerable, no tiene por qué ser un número racional. Aquí tienes otro ejemplo:
El problema de Basilea
Hola, creo que la posición de «4» sería i=1 j=2, ¿o me equivoco?
Hola, creo que la posición de «4» sería i=4 j=2, ¿o me equivoco?
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Fascinante el número pi. Éxito y adelante.
Excelente!!!! Me encantan las relaciones ocultas. Ahora me gustaría hacerles una consulta que no es estrictamente matemática. Para hacerla corta, yo soy profesor en la Uni de lo que sería Teoría de Señales y Sistemas y una identidad básica es la de Euler. Pues resulta que una de las frases más curiosas de matemáticos es la referente a esta identidad y se debe a Benjamin Peirce matemático con importantes aportes en estadística que dijo: «Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto,… Lee más »
La demostración de la fórmula de Somayaji está mal: \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}≠1+4 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{n}}{2n+1}}