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Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:

\{trajes \; negros \}=x
\{trajes \;grises \}=12-x

\{precio \; de \; un \; traje \; gris \}=y
\{precio \; de \; un \; traje \; negro \}=y+30

La ecuación queda:

x(y+30)+(12-x)y=1200

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

30x+12y=1200

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números enteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lo toman del matemático Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones

Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación

ax+by=n

con a,b,n \in \mathbb{Z}.

Existencia de soluciones

El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él:

Teorema:

Una ecuación lineal diofántica de la forma ax+by=n tiene solución entera x_0,y_0 si y sólo si el máximo común divisor de a y b es un divisor de n.

Además, si llamamos d al mcd(a,b) se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:

\begin{matrix} x_0=\cfrac{n}{d} \cdot \alpha \\ \\ y_0=\cfrac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}

siendo d=\alpha a + \beta b.

Demostración:

1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:

Si la ecuación

ax+by=n (1)

tiene solución entera, entonces existen x_0,y_0 \in \mathbb{Z} tales que ax_0+by_0=n

Como d es un divisor común de a y b, entonces a=a_1 d y b=b_1 d, con a_1,b_1 \in \mathbb{Z}.

Tenemos entonces lo siguiente:

ax_0+by_0=a_1dx_0+b_1dx_0=(a_1x_0+b_1y_0)d=n

Es decir, nos queda una expresión del tipo kd=n, con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto k como d deben dividir a n, concluyendo así esta parte de la demostración.

2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteneidno como bonus el además:

Supongamos ahora que d es un divisor de n. Entonces existe k\in\mathbb{Z} tal que n=kd. Por otra parte, por el teorema de Bezout existen \alpha, \beta \in\mathbb{Z} tales que d=\alpha a + \beta b. Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por k:

kd=k \alpha a + k \beta b=n

De donde obtenemos

(k \alpha)a+(k \beta)b=n

Con lo que hemos llegado a que k \alpha y k \beta son soluciones de la ecuación (1).

Entonces:

\begin{matrix} x_0=k \alpha =\cfrac{n}{d} \cdot \alpha \\ \\ y_0=k \beta=\cfrac{n}{d} \cdot \beta \end{matrix}

es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar. \Box

Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.

Solución general de una ecuación diofántica lineal

Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

Si x_0,y_0 \in\mathbb{Z} es una solución particular de la ecuación

ax+by=n (1)

entonces todas las soluciones enteras xy de la misma son de la forma:

\begin{matrix} x=x_0+\cfrac{b}{d} \cdot t \\ \\ y=y_0-\cfrac{a}{d} \cdot t \end{matrix} (2)

con t \in\mathbb{Z}, siendo d=mcd(a,b).

Demostración:

Si x_0,y_0 es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que ax_0+by_0=n. Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación:

a \left ( x_0+\frac{b}{d}t \right )+b \left ( y_0-\frac{a}{d}t \right )=ax_0+by_0+a \frac{b}{d} t-b \frac{a}{d} t=n

Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:

Partiendo de la solución particular anterior x_0,y_0, supongamos que tenemos una solución x,y de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:

\begin{matrix} ax+by=n \\ax_0+by_0=n \end{matrix}

Restamos las dos ecuaciones, obteniendo

a(x-x_0)+b(y-y_0)=0

Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a

a(x-x_0)=b(y_0-y) (3)

Dividimos ahora por d:

\frac{a}{d} (x-x_0)=\frac{b}{d} (y_0-y)

Como \textstyle{\frac{a}{d}} y \textstyle{\frac{b}{d}} son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en común en un principio), y \textstyle{\frac{a}{d}} divide a \textstyle{\frac{b}{d}} (y_0-y), debe cumplirse que \textstyle{\frac{a}{d}} divida a (y_0-y).

Esto nos lleva a que debe existir t\in\mathbb{Z} tal que:

y_0-y=\cfrac{a}{d} t

De donde obtenemos que y debe ser de la forma:

y=y_0-\cfrac{a}{d} t, con t\in\mathbb{Z}

Sustituyendo este valor de y en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para x:

x=x_0+\cfrac{b}{d} t \quad \Box

Ejemplo práctico

Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:

30x+12y=1200

Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor.

Como mcd(30,12)=6 es un divisor de 1200 nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener \alpha y \beta debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene

6=30-12 \cdot 2

por lo que \alpha=1 y \beta=-2.

Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:

\begin{matrix} x_0=\cfrac{1200}{6} \cdot 1=200 \\ \\ y_0=\cfrac{1200}{6} \cdot (-2)=-400 \end{matrix}

A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:

\begin{matrix} x=200 +\cfrac{12}{6} \cdot t=200+2t \\ \\ x=-400-\cfrac{30}{6} \cdot t=-400-5t \end{matrix}

En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es T_N=200+2t, por lo que el número de trajes grises comprados es T_G=12-T_N=12-200-2t=-188-2t.

Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente:

\begin{matrix} 0 < T_G < 12 \\ 0 < -188-2t < 12 \\ 188 < -2t < 200 \\ -100 < t < -94 \end{matrix}

Por tanto, los únicos valores posibles para t son t=\{-99,-98,-97,-96,-95 \}.

Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple para t=-95. En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró -188-2 (-95)=2 trajes grises y 12-2=10 trajes negros.

Fuente de la demostración:

  • Álgebra y Matemáticas Discretas I, de Carmen Moreno Valencia.
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