Introducción

Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:

El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado (25=5^2) y un cubo (27=3^3).

Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.

En este artículo vais a poder ver esta demostración.

La unicidad del 26

En realidad la demostración que os voy a presentar del hecho de que el 26 sea el único número natural con la propiedad mencionada anteriormente es relativamente elemental. Lo interesante de la prueba es que se sale del conjunto de los números naturales \mathbb{N} para demostrar una característica en \mathbb{N}. El hecho de apoyarse en un conjunto mayor que \mathbb{N} para demostrar algo en él es un argumento bastante útil, y de ello se aprovecharon muchos matemáticos cuando se convencieron de la potencia de dicho argumento.

Centrémonos en el tema. Vamos a hacer la demostración en \mathbb{Z} (los números enteros). Entonces el enunciado del resultado a demostrar el el siguiente:

Teorema:

Las únicas soluciones enteras de la ecuación

y^2+2=x^3

son y=\pm 5, \; x=3.

Demostración:

Un simple vistazo a la ecuación nos dice que y no puede ser un número par. Si lo fuera tendríamos que x también sería par. La contradicción se encontraría en el hecho de que la parte derecha de la igualdad sería divisible entre 8, pero la parte izquierda no sería ni siquiera divisible entre 4. Por tanto y ha de ser un número impar.

Nos salimos ahora de \mathbb{Z} para adentrarnos en el anillo \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack = \lbrace a+b \sqrt{-2} / a,b \in \mathbb{Z} \rbrace. Consideramos la ecuación anterior en este anillo su expresión puede darse factorizada de la siguiente manera:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Consideramos en este anillo la norma N: \; \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack \rightarrow \mathbb{N} siguiente:

N(a+b \sqrt{-2})=(a+b \sqrt{-2})(a-b \sqrt{-2})=a^2+2b^2

Es sencillo comprobar que dicha norma es multiplicativa, esto es, que es positiva para todo elemento distinto de cero de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que es cero para el elemento cero y que la norma de un producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack es el producto de las normas de dicho elementos.

Supongamos ahora que x,y cumplen la ecuación inicial y tomemos los elementos y+ \sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack. Cualquier elemento c+d \sqrt{-2} que sea un divisor común de ellos dos debe dividir también a su suma, 2y, y a su diferencia, 2 \sqrt{-2}. Tomando normas en esta situación tendríamos lo siguiente:

c^2+2d^2 | 4y^2, \; c^2+2d^2 | 8

Por tanto c^2+2d^2 | 4. Los únicos pares de valores (c,d) que cumplen esto son los siguiente:

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,0),(-2,0)

Con las dos primeras posibilidades obtenemos los elementos 1 y -1$ de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que son unidades de este anillo. En los demás casos obtenemos los elementos \sqrt{-2}, -\sqrt{-2},2 y -2, todos ellos con norma par (2 ó 4), por lo que no pueden dividir a y+\sqrt{-2}, cuya norma (y^2+2) es impar.

Con esto llegamos a lo siguiente: y+\sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} son primos entre sí.

Ahora, teníamos la ecuación inicial factorizada de la siguiente forma:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Uniendo estos dos hechos tenemos que el producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack que son primos entre sí es igual a un cubo. Ello obliga a que cada uno de estos elementos sea él mismo un cubo. En particular:

y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3

Desarrollemos ahora la parte derecha de esta última igualdad:

y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3=a^3+3a^2b \sqrt{-2} +3 ab^2 (-2)+b^3 (\sqrt{-2})^3=a^3-6ab^2+(3a^2b-2b^3) \sqrt{-2}

Igualando coeficientes de \sqrt{-2} de las expresiones inicial y final llegamos a la siguiente igualdad:

1=3a^2b-2b^3

Un sencillo análisis de los valores de a y b nos lleva a que los únicos valores posibles son b=1 y a= \pm 1 (recordemos que a y b son números enteros). Para (a,b)=(-1,1) obtenemos que y=-5 y de ahí que x=3. Y para (a,b)=(1,1) obtenemos y=5 y por tanto x=3, que es el resultado buscado.


¿Conocéis alguna otra demostración de este hecho? Los comentarios son vuestros.

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