No, no me he equivocado. Quiero preguntar exactamente lo que dice el título de esta entrada, y os aseguro que la pregunta tiene más interés de lo que podría parecer en un principio, a la vez que es una de esas cuestiones que suele crear «polémica» entre los que la responden (sí, como el ya «famoso» 8:2(2+2)). Vamos a intentar aclarar la cosa y despejar todas las dudas que podáis tener sobre ella.

Todo esto surgió cuando vi que en el libro de 2º de ESO que usamos en mi centro aparecía lo siguiente:

Se me ocurrió mandarla a Twitter para ver qué opinión tenían mis seguidores y, como era de esperar, salieron opiniones para todos los gustos. Podéis verlas aquí:

Os recomiendo especialmente los tuits de Juan Luis Varona, profesor de la Universidad de la Rioja.

Bien, pues voy a responder a la pregunta:

La raíz cuadrada de 16 es 4

Nada más por ahora. Muchas gracias por leerme, nos vemos en el…

¡Un momento!. ¿Una entrada en Gaussianos para esto? Habrá algo más, ¿no?

– Venga, vale, vamos a hablar del tema un poco más.

Efectivamente, el post podía terminar ahí, justo después de responder, ya que el tema no debería tener mayor recorrido…pero lo tiene. Seguro que, tras leer mi respuesta, una buena parte de vosotros, queridos lectores, habéis espetado algo como

Nada de eso. La raíz cuadrada de 16 es más y menos cuatro, ya que la raíz cuadrada tiene dos soluciones.

¿Es eso cierto?

– Respuesta corta: No
– Respuesta larga: No, no y no.

Vamos a analizar poco a poco la afirmación anterior. En primer lugar, la raíz cuadrada de un número no tiene «soluciones». El término «solución» está asociado a una ecuación, y para que tengamos una ecuación debemos tener una igualdad. Y creo que está bastante claro que en la expresión \sqrt{16} no hay ningún símbolo =.

Supongo que quienes creen lo de «más y menos cuatro», en realidad querían decir que la raíz cuadrada da como resultado dos valores. Eso sí, ¿verdad? Pues tampoco: por ejemplo, \sqrt{-9} no «da» ningún resultado real.

– Ya, pero -9 es negativo, y yo hablaba de la raíz cuadrada de un número positivo.

Ah, vale, que sólo hablamos de números positivos. Ahora sí que sí…

…que no, ahora tampoco. Y la razón principal es la siguiente: la única forma, con sentido, que tenemos de definir la raíz cuadrada de un número positivo a es como el valor de la función y=\sqrt{x} para x=a. Y, como todos sabréis, una función tiene un único resultado para cada valor de su dominio, ya que si tiene más de uno entonces no es una función. Siguiendo esto, entonces está claro que \sqrt{16}=4, ¿verdad? Caso cerrado.

Bueno, antes de cerrarlo vamos a hablar de esa opción del «más y menos 4», porque si está tan extendida será por algo. Si piensas eso es porque estás confundiendo «valor de \sqrt{16}» con «soluciones de la ecuación x^2=16« (y, además, esto es la razón por la que usas la palabra «soluciones»).

Las soluciones de la ecuación x^2=16 son, efectivamente, +4 y -4, ya que (+4)^2=16 y también (-4)^2=16, pero eso no significa que \sqrt{16} tenga esos dos valores. De hecho, se define \sqrt{16} como la solución positiva de dicha ecuación, por lo que \sqrt{16} tiene, como dijimos antes, un único resultado: 4.

Repito, por si no ha quedado suficientemente claro:

No, \sqrt{16} no tiene dos soluciones, ni dos resultados, sino un único valor, que es 4.

A pesar de estos razonamientos, seguro que todavía hay gente que no se ha convencido de ello o que, aun convenciéndose, consideran conveniente, pedagógicamente hablando, seguir contando a los chicos en clase que la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos resultados. Os voy a mostrar un ejemplo real que, bajo mi punto de vista, es suficiente para abandonar esa opción.

Digo que el ejemplo es «real» porque pasó el otro día en una de mi clases de este año. Una de las tareas para casa era resolver la siguiente ecuación racional:

\sqrt{20-x}=x-8

Sin entrar en cómo resolverla, el procedimiento habitual da como posibles soluciones x=4 y x=11. Y digo «posibles» porque el último paso es comprobar la validez de las mismas sustituyendo en la ecuación inicial. Bien, pues en dos casos me encontré lo siguiente (lo hago con el 4):

\begin{matrix} \sqrt{20-4}=\sqrt{16}=\pm 4 \\ 4-8=-4 \end{matrix}

Y como -4 es, supuestamente, uno de los valores de la raíz cuadrada, entonces a ambos lados obtenemos -4, por lo que la solución es válida. Pues no, en este caso el valor x=4 no es una solución válida de la ecuación, ya que, al sustituir, el miembro de la izquierda da en realidad 4 y el de la derecha da -4.

Y otro ejemplo, quizás mucho más claro y accesible, de lo erróneo de la concepción del «más y menos 4» es el siguiente, que es básicamente igual que uno que puso Juan Luis Varona (que, hablando de todo un poco, ya ha aparecido en este blog buscando primos con una cuerda) como respuesta al tuit que enlazo un poco más arriba:

Imaginemos que aceptamos que la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores. Entonces, ¿cuánto vale la expresión \sqrt{4}+\sqrt{9}? ¿Vale 5? ¿O vale 1? ¿Tal vez -1? ¿O -5?

O peor aún: ¿acaso podríamos aceptar que esa expresión tiene cuatro valores posibles?

Nada más que añadir, señoría. Por cierto, seguro que vosotros conocéis más ejemplos de situaciones en las que el «más y menos 4» provoca confusiones y problemas, como pasa en este caso. Os animo a que nos habléis de ellas en los comentarios.

Para terminar, es cierto que, pedagógicamente hablando, este tema se ha tratado muy mal siempre (me incluyo yo mismo como «culpable» de ello en ciertos momentos), pero eso no justifica que sigamos haciéndolo así de mal. Por tanto, os animo a todos los que de una forma u otra estéis relacionados con la enseñanza de las matemáticas a que toméis la vía que destaco aquí como la mejor y la que da sentido a todo.

Espero vuestras opiniones.


Esta entrada participa en la «Edición 11.6: Conjeturas» del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza este blog.

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