Extraña pregunta para comenzar la semana, ¿verdad? Vamos a intentar responderla a lo largo de este artículo.

Introducción

La Topología (no confundir con Topografía) es una rama de las matemáticas que podríamos decir que se ocupa de las deformaciones continuas de cuerpos. La cuestión es más o menos como sigue:

En Topología, si podemos convertir un cuerpo en otro mediante una deformación que no implique rotura entonces los dos cuerpos son topológicamente iguales.

Por ejemplo, en Topología una circunferencia y una elipse son iguales (se dice que son homeomorfos). Y, como todo el mundo sabe, un dónut y una taza de café también son iguales. Valga esta imagen (que encontré en este post del blog Topología I de un antiguo profesor mío) como ejemplo de ello:

Un dónut es igual a una taza de café

Así que ya sabéis, si alguna vez coincidís desayunando con profesor de Topología y veis que está mordiendo la taza e intentando beber de un dónut no os extrañéis y echadle una mano porque no sabe distinguirlos.

Y hasta un conejito es igual a una esfera (gracias Acho):

Introducido ya el tema de la deformación de cuerpos vamos a plantearnos cómo podemos sumarlos. En principio sabemos sumar números, pero también conocemos cómo se suman matrices del mismo orden (sumando las entradas de cada una de ellas que están en la misma posición), polinomios (sumando los coeficientes de los monomios de mismo grado) o funciones en general. Pero ¿podemos sumar superficies? En Topoplogía sí.

Suma conexa

Antes de nada quiero aclarar que aunque todo lo que vamos a explicar aquí puede extenderse a dimensiones mayores nosotros nos vamos a centrar en superficies en tres dimensiones (para los puristas, espacios topológicos y espácios topológicos cocientes definidos en \mathbb{R}^3).

Vamos a ver un ejemplo a partir del cual se verá cuál es la forma de sumar superficies:

  • Supongamos que queremos sumar (topológicamente hablando) dos esferas. Trazamos una circunferencia en la superficie de una de ellas y recortamos con unas tijeras el trozo de esfera que queda dentro de la circunferencia. Después hacemos lo mismo en la otra esfera. Tenemos dos esferas a las que les hemos quitado un trozo de su superficie. Lo que hacemos ahora es estirar las esferas lo que haga falta para poder pegarlas por los bordes que han dejado los agujeros. En principio habríamos obtenido una figura extraña, sin una forma aparentemente reconocible. Pero como la Topología nos permite deformar las cosas (sin romperlas), deformamos dicha figura hasta darle una forma redondeada (imaginemos que la figura resultante es un globo y lo que hacemos es inflarlo, como en una de las imágenes anteriores). ¿Cuál es el resultado? Pues, evidentemente, otra esfera.

Puede que este vídeo nos deje la idea aún más clara:

En esto básicamente es en lo que consiste la suma de superficies, denominada suma conexa:

Dadas dos superficies S_1 y S_2, la suma conexa de ellas, que denotaremos por S_1#S_2, es otra superficie que se construye eliminando de cada una de ellas un trozo homeomorfo a un disco de \mathbb{R}^2 y pegando los cuerpos resultantes por los bordes dejados por cada uno de los trozos.

Así definida, esta operación es conmutativa (es evidente que S_1#S_2=S_2#S_1) y asociativa (también es claro que (S_1#S_2)#S_3=S_1#(S_2#S_3)). Pero además también tiene elemento neutro: la esfera \mathbb{S}_2 (la esfera en tres dimensiones de toda la vida). Si realizamos la suma conexa de una superficie cualquiera S y \mathbb{S}^2 obtenemos otra vez la superficie S, ya que al pegar los cuerpos resultantes de eliminar los discos de cada una de ellas podemos deformar la superficie obtenida hasta conseguir la superficie S inicial.

Asociativa, conmutativa, posee elemento neutro…¿A qué suena esto? A grupo, ¿verdad? Pues por desgracia falla la otra propiedad: la suma conexa de superficie no posee elemento opuesto. Esto es, en general dada una superficie cualquiera S de \mathbb{R}^3 no podemos encontrar otra superficie S^\prime tal que S#S^\prime=\mathbb{S}^2 (es decir, que su suma conexa sea el elemento neutro, la esfera). Por ello el conjunto de todas las superficies de \mathbb{R}^3 con la operación suma conexa no es un grupo, sino un semigrupo.

Hemos comentado antes que lo que se hace es trazar una circunferencia en cada una de las superficies, para después eliminar el trozo interior a ella. Pero ni siquiera hace falta que sea una circunferencia. De hecho puede ser cualquier curva cerrada que no se corte a si misma (este tipo de curvas se denominan simples), ya que después podemos deformar la superficie para pegar los dos bordes. Además también da igual cómo las peguemos. Esto es:

La suma conexa de dos superficies no depende ni de la curva elegida ni de la forma de pegarlas.

Algunos otros ejemplos son los siguiente:

  • Respondiendo a la pregunta que titula este artículo, la suma conexa de un dónut y un balón es un dónut.
  • La suma conexa de dos toros (dónuts) lo que obtenemos es un toro con dos agujeros. Por ello, si hacemos la suma conexa de un toro con dos agujeros y otro con uno el resultado es un toro con tres agujeros:

    Suma conexa de un toro y un 2-toro

    Imagen tomada de la Wikipedia en español
  • La suma conexa de dos planos proyectivos \mathbb{R} \mathbb{P}^2 es una botella de Klein.
  • La suma conexa de un toro y un plano proyectivo es igual a la suma conexa de tres planos proyectivos.

Y para terminar este artículo os dejo un teorema muy importante en Topología relacionado con este tema:

Teorema: (de clasificación de superficies compactas)

Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una suma conexa de toros o a una suma conexa de planos proyectivos.

Es decir, toda superficie compacta de \mathbb{R}^3 que se nos ocurra puede deformarse (sin romperla) hasta convertirla en una esfera, en una superficie tipo toro con un cierto número de agujeros o en una superficie obtenida de realizar la suma conexa de un cierto número de planos proyectivos.

Este tipo de resultados es muy importante ya que nos dice la forma exacta de los elementos que podemos encontrarnos. En este caso, topológicamente hablando, se podría decir que sólo existen esos tres tipos de superficies compactas. Para estudios con superficies el conocimiento de este hecho es esencial.

Fuentes:

En este artículo se ha hablado entre otras cosas de ciertas superficies que puede ser que no sean muy conocidas para algunos de vosotros. Paciencia, con el tiempo las presentaremos en Gaussianos.

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