Muchos son los números reales que podrían considerarse «universales» por múltiples razones. ¿Quién no diría que el número Pi, el número e o el propio 0 no son universales? Ahora, que el 15 o el 290 lo sean…como que no parece tan claro. Pero la realidad es que estos dos números enteros positivos, 15 y 290, sí que podrían llamarse «universales» con todas las de la ley. En este artículo vamos a hablar de por qué estos números son tan especiales.

Antes de continuar, es interesante destacar que no son estos números en sí los que son «universales», sino que están relacionados con la universalidad de unos objetos matemáticos llamados formas cuadráticas. Sin entrar en demasiados formalismos, podemos decir que una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 en varias variables, esto es, una suma de términos que son siempre el producto de una constante por un término cuadrático (que puede ser una variable al cuadrado o un producto de dos variables distintas). Aquí tenéis un par de ejemplos:

\begin{matrix} Q_1(x,y,z)=x^2-y^2+z^2-4xy+2yz \\ \\ Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2 \end{matrix}

En general, una forma cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

Q(x_1, \ldots , x_n)=\displaystyle{\sum_{i,j} Q_{ij} \cdot x_i \cdot x_j}

Esos coeficientes Q_{ij} son las entradas de una matriz simétrica, que llamaremos A_Q, que es la matriz asociada a la forma cuadrática Q.

Cuando una forma cuadrática Q cumple que Q(\overline{x}) > 0 para todo \overline{x} \ne 0, dicha forma cuadrática se denomina definida positiva (lo que equivale a que la matriz A_Q sea definida positiva). Si analizamos los dos ejemplos anteriores, tenemos que Q_1 no es definida positiva (por ejemplo, Q_1(1,1,0)=-4), pero Q_2 sí lo es (ya que Q_2(\overline{x}) es suma de términos mayores o iguales que 0 con al menos uno de ellos es distinto de cero).

Para el caso que nos ocupa nos quedaremos solamente con los vectores \overline{x}=(x_1, \dots , x_n) cuyas coordenadas sean números enteros. En esta situación, una forma cuadrática entera es una forma cuadrática definida positiva que cumple que Q(\overline{x}) es siempre un número entero (que será siempre positivo). A partir de este momento, cuando hablemos de «forma cuadrática» implícitamente consideraremos que es definida positiva y que la estamos aplicando a vectores con todas sus coordenadas números enteros.

Es evidente que si todas las entradas de la matriz definida positiva A_Q son números enteros, entonces la forma cuadrática Q es una forma cuadrática entera. Pero también hay matrices cuyas entradas no son todas números enteros que definen formas cuadráticas enteras. Por ejemplo, la matriz

A_Q=\left ( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right )

está asociada a la forma cuadrática Q(x,y)=x^2+xy+y^2, que es definida positiva y, evidentemente, entera.

Para diferenciarlas, a las primeras las llamaremos formas cuadráticas de matriz entera y a las segundas formas cuadráticas de valores enteros.

Después de esta pequeña introducción, vamos a adentrarnos en el tema central del artículo. Una forma cuadrática se denomina universal si representa a todos los números enteros positivos. Es decir, una forma cuadrática es universal si al aplicarla a todos los vectores cuyas coordenadas sean números enteros es capaz de dar como resultado todos los enteros positivos.

John Horton ConwayLa primera pregunta que podríamos hacernos es la siguiente: ¿existen formas cuadráticas universales? Y la respuesta es sí. Una de las que usamos anteriormente como ejemplo, Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2, es universal (hecho que está garantizado por el teorema de los cuatro cuadrados). Y, evidentemente, la segunda pregunta sería ésta: ¿qué condiciones debe cumplir una forma cuadrática para ser universal? La respuesta a esta cuestión es tan bella como curiosa.

Antes hemos dividido estas formas cuadráticas en dos grupos: las de matriz entera y las de valores enteros. Para las de matriz entera, John Horton Conway y William Schneeberger demostraron en 1993 el sorprendente resultado siguiente:

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma todos los valores enteros positivos hasta el 15, entonces toma todos los valores enteros positivos.

De hecho, este resultado se puede mejorar, quedando el denominado 15-Theorem:

Teorema: (15-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma los valores

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15

entonces toma todos los valores enteros positivos.

Esto significa que para determinar si una cierta forma cuadrática es universal simplemente hay que ver si podemos obtener como resultado de la misma estos nueve números (llamados enteros críticos para formas de matriz entera). Además, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a ese número. Por ejemplo, la forma cuadrática Q(x,y,z,t)=x^2+2y^2+5z^2+5t^2 representa a todos los enteros positivos excepto al 15.

Magnífico a la par que sorprendente, ¿verdad?

Además de lo ya expuesto, el carácter especial del 15 en esta situación nos lo muestran estos dos interesantes resultados:

  • Si una forma cuadrática con matriz entera representa a todos los enteros positivos menores que 15, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 15.
  • Hay formas cuadráticas con matriz entera que «pierden» infinitos enteros positivos si en vez de 15 tomamos cualquier otro entero crítico.

Como hemos comentado, Conway y Schneeberger demostraron este resultado en 1993, aunque no publicaron dicha demostración. Pero no está todo perdido, ni mucho menos. En el año 2000, Manjul Bhargava dio una demostración del 15-Theorem mucho más simple que la de Conway y Schneeberger. Podéis ver dicha prueba en On the Conway-Schneeberger Fifteen Theorem (pdf), artículo en el que podéis ver también un comentario inicial del propio John Conway.

Manjul Bhargava

Para quien no sepa quién es Manjul Bhargava, es interesante resaltar que es nada más y nada menos que uno de los galardonados con la Medalla Fields en 2014. Ah, y una curiosidad: ¿sabéis quién fue el director de tesis de Manjul Bhargava? Pues nada más y nada menos que Andrew Wiles (aquí podéis verlo en el MGP). Sí, exacto, el del último teorema de Fermat. Casi nada.

Ahora, este especialista en teoría de números no se quedó ahí. ¿Os acordáis de que habíamos dividido nuestras formas cuadráticas en dos tipos? El 15-Theorem resuelve el problema de caracterización de las formas cuadráticas universales para las de matriz entera, pero todavía no sabemos qué ocurre con las de valores enteros.

Bien, pues fue el propio Bhargava quien resolvió esta cuestión. En 2005 demostró, junto a Jonathan Hanke, que para las formas cuadráticas de valores enteros se cumple un resultado del estilo al caso anterior, pero reemplazando el 15 por el 290:

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a todos los enteros positivos hasta el 290, entonces representa a todos los enteros positivos.

Y, como en el caso anterior, este resultado se puede mejorar hasta llegar al siguiente, denominado 290-Theorem:

Teorema: (290-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a los enteros

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290

entonces representa a todos los enteros positivos.

Es decir, para ver si una forma cuadrática de valores enteros es universal solamente hay que ver si es capaz de representar a estos 29 números enteros (llamados enteros críticos para formas de valores enteros). Y además, como en el 15-Theorem, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a dicho número. En el artículo de Bhargava y Hanke, Universal quadratic forms and the 290-Theorem (pdf), se puede encontrar este teorema (del estilo al caso anterior) que le da al 290 un carácter casi tan especial como el del número 15:

Si una forma cuadrática con valores enteros representa a todos los enteros positivos menores que 290, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 290.

Como detalle final en relación con estos dos teoremas, el número mínimo de variables que debe tener una forma cuadrática para poder ser universal es 4 (cuaternarias). Bien, pues Bhargava también demostró que hay exactamente 204 formas cuadráticas cuaternarias de matriz entera que son universales y 6436 formas cuadráticas de valores enteros que son universales. Lo dicho, maravillosos y sorprendentes resultados relacionados con estos objetos matemáticos denominados formas cuadráticas que seguro harán que a partir de ahora veamos al 15 y al 290 como números mucho más especiales de lo que podían ser hasta ahora.

Para redondear el artículo, un par de detalles más sobre este tema. Bhargava también dio condiciones para que una forma cuadrática de matriz entera represente a todos los números impares y a todos los números primos. Son las siguientes:

  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 1, 3, 5, 7, 11, 15 y 33, entonces toma como valores a todos los números impares.
  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67 y 73, entonces toma como valores a todos los números primos.

Fuentes y más información:

La foto de Manjul Bhargava la he tomado de aquí, y la de John Conway la he tomado de aquí.

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